Я прописана в Кургане. В этом же городе снимаю квартиру. Обязательно ли мне регистрироваться по месту пебывания?

Нет: в пределах административных границ населённого пункта делать этого не нужно.
А Закон такой есть:
Правила регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания

Граждане, прибывшие для временного проживания в жилых помещениях, не являющихся их местом жительства, на срок свыше 90 дней, обязаны по истечении указанного срока обратиться к должностным лицам, ответственным за регистрацию
подробнее

Зарегистрироваться вы обязаны, но вот соседа можно вполне сдать в ту же милицию на предмет нарушения им ст. 19.1 КОАП РФ - самоуправство. Потому что кто где живет - это НЕ дело соседей. И даже пахнет нарушением права на частную жизнь, что закреплено в Конституции.
На участкового забейте. Он должен доказать что вы проживаете в данном помещении более 90 дней а доказательств у него и нет.. . если вы сами не признаетесь.

формально
если вы пребываете в этой квартире непрерывно более 90 дней, то вы обязаны зарегистрироваться
но если вы не пребываете в этой квартире постоянно (например ездите к маме и ночуете у нее и тп) то вы не обязаны регистрироваться в этой квартире

Начнем с того, что прописки нет в России ни у кого с 01.10.1993 года.
"Я официально живу и прописана в маминой квартире. " - Вы зарегистрированы по месту жительства в маминой квартире, но там не живете. Вы же сами написали: "Но сейчас сняла квартиру недалеко от дома, и живу в ней. "
Сосед Ваш прав! Если Вы проживаете в жилом помещении, которое не является Вашим основным местом жительства, то по истечение 90 суток Вашего пребывания в нем Вы обязаны подать документы в подразделение УФМС для регистрации Вас по месту пребывания.
В противном случае Вам грозит административное наказание по ст. 19.15 КоАП РФ. Штраф по этой статье от 1500 до 2500 руб.

Читаем Правила регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации:
9. Граждане, прибывшие для временного проживания в жилых помещениях, не являющихся их местом жительства, на срок свыше 90 дней, обязаны по истечении указанного срока обратиться к должностным лицам, ответственным за регистрацию, и представить:
документ, удостоверяющий личность;
заявление установленной формы о регистрации по месту пребывания;
документ, являющийся основанием для временного проживания гражданина в указанном жилом помещении (договоры найма (поднайма) , социального найма жилого помещения или заявление лица, предоставляющего гражданину жилое помещение) .

И КоАП РФ

Статья 19.15. Проживание гражданина Российской Федерации без удостоверения личности гражданина (паспорта) или без регистрации

1. Проживание по месту жительства или по месту пребывания гражданина Российской Федерации, обязанного иметь удостоверение личности гражданина (паспорт) , без удостоверения личности гражданина (паспорта) или по недействительному удостоверению личности гражданина (паспорту) либо без регистрации по месту пребывания или по месту жительства -
(в ред. Федерального закона от 08.12.2003 N 161-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
влечет наложение административного штрафа в размере от одной тысячи пятисот до двух тысяч пятисот рублей.
(в ред. Федеральных законов от 25.10.2004 N 126-ФЗ, от 22.06.2007 N 116-ФЗ)

а что если заключать договор аренды на три месяца, потом к маме на недельку и опять на три месяца. Так получится избежать регистрации? и к тому же хозяин квартиры против регистрации...

Пусть сосед сначала докажет что вы непрерывно в течении 90 дней проживаете в этой квартире!

Хочу ответить в части доказательст проживания без регистрации. Если участковый выявит гражданина который проживает более 90 суток без регистр. , ему будет необходимо найти только двух свидетелей которые подтвердят это. Но Вы можете сказать, что соседи за мной не следят и не могут знать живу я постоянно по этому адресу или нет. Но слов соседей для участкового будет достаточно т. к. решение по ст. 19 . 15 ч 1 Коап РФ принимает должностное лицо, в данном случае участковый. Но вы платить конечно не будете и пойдете в суд.