можно ли только выписаться по запросу с другого города, и не прописываясь на новом месте.?

нет, поскольку сначала гражданин должен зарегистрироваться на новом месте, далее Листок прибытия направляется по почте либо выдается на руки гражданину и на его основании (листка прибытия) его снимают по старому адресу. Если хотите выписаться, то юрист знает одну хитрость. можно возбудить гражданский спор. чтобы вас выписали, тогда Вас снимут с рег. учета по решению суда и получиться что Вы нигде не зарегистрированы.
Но взвесьте все 100 раз, выписаться можно. а вот прописаться очень сложно.

За несвоевременную р е г и с т а ц и ю (иститут прописки упразднен... ) предусмотрена адм. отв-ть. Да и потом, как вы себе представляете снятие с рег учета по запросу без одновременной постановки на рег учет?? ? Вы тему недопонимаете. Происходит так, вы по новому месту приходите в соответствующ службу с паспортом гр. РФ, где значится адрес регистрации, пишите заявление о постановке на рег учет (при наличии соответствующих разрешений от собственника или при его личном участии, нюансы не важны в данном случае) на указанный вами адрес и одновременно с этим - еще одно заявление на снятие. Сотрудник принимает ваше заявление и у в е д о м л я е т по прошлому адресу о новой регистрации.. . те делают отметку, что такой-то гражданин "здесь больше не живет"(!) И также направляет по новому месту рег уведомл.
Всё остальное - лирика (сниматься или не сниматься - вы реализовываете своё право осознанно) . Думаю, в вашем случае, если нет желания выезжать, то можно вполне оформить д о в е р е н н о с т ь в которой указать, что именно по ней может совершить поверенный, и не более того, высылаете заинтересованным лицам. (По сути вы будете числиться на старом адресе только по паспорту, ..но со временем вас все равно снимут с рег учета - этими "уловками" грамотно пользуются юристы)

запросто