Можно ли родить ребенка в Краснодарском крае, если нет временной прописки? ( прописана в Ставропольском крае )

Прописки вобще нет никакой в России, а рожать конечно лучше там, где:
Родовой сертификат — документ, позволяющий беременной в РФ выбрать женскую консультацию и роддом на своё усмотрение. Выбранный роддом и ЖК получают от государства оплату за оказанные при беременности и родовспоможении услуги.
Родовой сертификат. Выдается беременной на руки для последующего предоставления (вместе с Талоном № 2 и обменной картой) в выбранный роддом.
Талон № 1 — предназначен для оплаты услуг по ведению беременности. Остается в женской консультации.
Талон № 2 — предназначен для оплаты услуг роддома (родильного отделения или перинатального центра) . Выдается беременной вместе с родовым сертификатом. После рождения ребенка в роддоме заполняют «Талон № 2», где он и остается. Если вы рожаете «платно» , то талон № 2 должен быть погашен и будет иметь штамп «не подлежит оплате» .
Талон № 3 — предназначен для оплаты услуг детской поликлиники, для диспансерного наблюдения за ребенком в первый год жизни.

Вы можете рожать где угодно. Если у вас есть полис ОМС - хорошо, если нет - вам тоже не откажут (роды - это экстренная помощь) . Даже состоять на учёте по беременности вы можете не по месту регистрации, а по месту жительства.
Для поступления в роддом нужно иметь обменную карту с результатами анализов крови на RW (сифилис) , мазок на gN (гонорея) , анализ крови на HBsAg (гепатит В) , анализ крови на HCV (гепатит С) , кровь на форму 50 (ВИЧ) . Если всё это есть, то вас возьмут в любой роддом, если анализов нет - то рожать примут только в обсервацию (где рожают необследованные) . Кроме этого, нужен паспорт, полис ОМС. А вот родовой сертификат как раз желателен, но НЕОБЯЗАТЕЛЕН - лично женщине никаких привилегий он не даёт: по нему получают дополнительные деньги медицинские учреждения. Если его нет, его выпишут в роддоме, В этом случае талон для женской консультации останется неиспользованным, а роддом свой талон заберёт.

Само не рассосётся.

Можно. Прописка в РФ отменена 19 лет назад.

Можно. Обязаны принять.

Родить можно где угодно.