Можно ли изменить фамилию при получении паспорта (в 16 лет) ? СКОЛЬКО СТОИТ? Обязательна ли причина смены?

Причину никто не спрашивает.
Согласно ст. 58 Федерального закона от 15 ноября 1997 г. № 143-ФЗ это можно делать с 14 лет.
Вопрос оплаты Вам следует уточнить в ЗАГСе.

Гражданин вправе переменить свое имя, включающее в себя фамилию, собственно имя, а также отчество, в порядке, установленном законом.

Перемена имени подлежит государственной регистрации в органах ЗАГС по месту жительства или по месту государственной регистрации рождения лица, желающего переменить фамилию, собственно имя и (или) отчество.
(Статья 19 Гражданского кодекса Российской Федерации, статья 58 Федерального закона «Об актах гражданского состояния» )

Для государственной регистрации перемены имени лицом, не достигшим совершеннолетия, также необходимо письменное согласие обоих родителей (усыновителей, попечителя) либо вступившее в законную силу решение суда, обязывающее орган ЗАГС произвести государственную регистрацию перемены имени без согласия родителей (одного из родителей) .
(Пункт 3 статьи 58 Федерального закона «Об актах гражданского состояния» )

Государственная пошлина за государственную регистрацию перемены имени, включая выдачу свидетельства о перемене имени, составляет 1000 рублей.

За выдачу свидетельств о государственной регистрации актов гражданского состояния с новыми сведениями после внесения изменений в связи с переменой имени, государственная пошлина уплачивается в размере 200 рублей за каждое выданное свидетельство.

Государственная пошлина, уплаченная за государственную регистрацию перемены имени, если впоследствии государственная регистрация не была произведена, возврату не подлежит. (Статьи 333.26, 333.27, 333.40 главы 25.3 части II Налогового кодекса
Российской Федерации)