Можно ли в паспорте написать Катерина вместо Екатерина? в России

Можно хоть Сковорода (вполне серьёзно) .

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЗАКОН ОБ АКТАХ ГРАЖДАНСКОГО СОСТОЯНИЯ
Глава VII. ГОСУДАРСТВЕННАЯ РЕГИСТРАЦИЯ ПЕРЕМЕНЫ ИМЕНИ

Статья 58. Перемена имени

1. Лицо, достигшее возраста четырнадцати лет, вправе переменить свое имя, включающее в себя фамилию, собственно имя и (или) отчество.
2. Перемена имени производится органом записи актов гражданского состояния по месту жительства или по месту государственной регистрации рождения лица, желающего переменить фамилию, собственно имя и (или) отчество.
3. Перемена имени лицом, не достигшим совершеннолетия, производится при наличии согласия обоих родителей, усыновителей или попечителя, а при отсутствии такого согласия на основании решения суда, за исключением случаев приобретения лицом полной дееспособности до достижения им совершеннолетия в порядке, предусмотренном законом.
4. Перемена имени лицу, не достигшему возраста четырнадцати лет, а также изменение присвоенной ему фамилии на фамилию другого родителя производится на основании решения органа опеки и попечительства в порядке, установленном статьей 59 Семейного кодекса Российской Федерации.
(п. 4 в ред. Федерального закона от 29.04.2002 N 44-ФЗ)
5. Перемена имени подлежит государственной регистрации в органах записи актов гражданского состояния.

Можно, но это будет перемена имени. Вам это надо? В св-ве о рождении будет одно, в паспорте другое. Это создает проблемы, например, при оформлении наследства.
А в быту вас будут звать, как скажете. У нас была Пелагея, так все ее Полиной звали. Теймурлан Тахирджанович себя сам назвал Толиком Толиковичем, так и звали. У меня учительница была Лия Сергеевна, так на самом деле она была татаркой с труднопроизносимым именем. С мужем работал Зеудет Хабибрахманович, все его Сашей звали. И сейчас со мной работает Коля-Леша, и таких примеров тьма.

В паспорте могут написать только то, что написано в свидетельстве о рождении, но имя можно изменить официально в ЗАГСе. Смысла в этом никакого для вас нет, вы можете везде представляться Катериной.

можно написать даже Табуретка

нельзя
мы просили вместо Наталья написать Наталия, не разрешили, сказали, что это уже другое имя, можно поменять имя в устанвленном порядке в ЗАГСе

можно поменять. но оно вам надо? вы представляете какая волокита будет вообще со всеми документами? у вас ведь будут одни разночтения. а случись чего замучаетесь по инстанциям бегать.