разве участковый имеет право заходить в квартиру без соответстующих документов?

Да нет. Права не имеет. Состав правонарушения образует только пребывание без регистрации в срок более 90 суток, а это недоказуемо. Дверь открывать не надо, а если будет настаивать - вызывать наряд "неизвестный ломится в квартиру". Если наряд успеет приехать (а они не торопятся) - у участкового при правильном подходе больше не будет желания так делать. Приехавшему наряду объяснить, что находитесь в квартире с разрешения собственника (квартиросъемщика) , периодически приезжаете. Если собственник на вашей стороне и это подтверждает - при желании можно устроить участковому неполное служебное.
Ну и вопрос - что за город? В Казани или Уфе, например, все может быть сложнее.

Да, имеет полное право! Даже без суда! У него НАМНОГО больше прав, что у остальных сотрудников полиции. !
9. Входить беспрепятственно в жилые и иные помещения граждан, на принадлежащие им земельные участки, на территорию и в помещения, занимаемые организациями всех форм собственности, и осматривать их при преследовании лиц, подозреваемых в совершении преступлений, либо при наличии достаточных оснований полагать, что там совершено или совершается преступление, произошел несчастный случай, а также для обеспечения личной безопасности граждан и общественной безопасности при стихийных бедствиях, катастрофах, авариях, эпидемиях, эпизоотиях и массовых беспорядках. О всех случаях проникновения в жилище против воли проживающих в нем граждан участковый уполномоченный немедленно докладывает рапортом руководству органа внутренних дел. 10. Изымать у граждан и должностных лиц документы, имеющие признаки подделки, а также вещи, предметы и вещества, изъятые из гражданского оборота, находящиеся у граждан без специального разрешения.

имеет право только по решению суда

если вас интересует законная сторона :
- найти причину для того что бы зайти БЕЗ вашего согласия при желании как два пальца об асфальт !
элементарно зарегистрированный звонок от соседей ,
в котором сообщается что слышны крики и кого то убивают !

- требовать с вас деньги он конечно не может !
тут скорей всего об этом просит хозяин квартиры ,
тогда возникает вывод - за квартиру вы не платите !
может стоит заплатить и не будет проблем

если же вы платите вовремя - то здесь нужно знать :
при наличии регистрации в этом же населённом пункте, вам НЕ нужно регистрироваться в сьёмном жилье !
таков ЗАКОН

понаехали тут и ещё права качают!

Просто ходить права не имеет. Говорить - не вызывали. Будет пытаться угрожать, сказать, что напишете в прокуратуру и обязательно написать, если решит угрожать. Но сами должны понимать, что при съеме квартиры нужно иметь договор найма, а не просто так жить там.

не законно, только по вашему согласию может войти. И на счет угроз о деньгах идите в прокуратуру там быстро ему пизды дадут)