Могу ли я прописать постороннего человека на свою часть дома?

Да

"Прописки" нет уже много лет. А зарегистрировать ты можешь. Вот, только потом, снять с регистрации и выселить будет очень даже непросто. Максимум - временная регистрация и то, даже в этом случае, есть большая вероятность беготни по судам.

Да, и ещё важный момент упустил - если у этого "товарища" есть несовершеннолетние дети, то их он зарегистрирует без всяких твоих разрешений. Прав собственности они не приобретут, но право проживать и пользоваться всем помещением иметь будут.

На свою ЧАСТЬ (если она имеет отдельный вход и в доме нет помещений общего пользования) можете!
На свою ДОЛЮ (в праве общей собственности на дом) и без согласия остальных сособственников НЕТ, права НЕ имеете!

в свою часть - не можете
можете только во весь дом
за несовершеннолетних детей подпишите заявление вы сами
если собственник ваш муж или совершеннолетний ребенок, то нужно их согласие на вселение постороннего гражданина

Если вы являетесь уполномоченным сотрудником ФМС, то не можете, а обязаны, не прописать, но зарегистрировать, не на части дома, а в жилом помещении, сразу как только поступит к вам соответствующее заявление.

Можно, "прописка" не дает права собственности на дом...

Кого хочешь.

ну вообще то разрешение всех собственников надо для регистрации на жил. площади. кто его даст за ваших детей - вопрос. органы опеки?

Можно, без права на долю, если жилплощадь позволяет