Могу ли я прописать и зарегистрировать ребенка через месяц после рождения или нужно обязательно сразу же?

Через месяц? Конечно! Можно и позже. Вам необходимо иметь ввиду следующее:
1) ч. 2 ст. 19.15 Кодекса об административных правонарушениях предусмотрена административная ответственность в виде наложения штрафа в размере от 2000 до 2500 рублей за допущение гражданином проживания в занимаемом им или в принадлежащем ему на праве собственности жилом помещении лиц без регистрации по месту жительства. Органы внутренних дел налагают данные штрафы, не принимая во внимание отсутствие законодательно установленного срока осуществления регистрации новорожденного ребенка.
2) Согласно системе обязательного страхования, которая действует в нашей стране, ребенок имеет право получать бесплатную медицинскую помощь в любой районной поликлинике, даже если ребенок не прописан в этом районе (или вообще не прописан! )
3) В течение первых шести месяцев жизни ребенку обязаны предоставить медицинскую помощь независимо от наличия полиса ОМС. (ОМС без регистрации не получить! )

Конкретных сроков, в пределах которых должна быть осуществлена регистрация по месту жительства новорожденного ребенка, законодательством не установлено. Когда Вы прибудете в другой город, то обязаны будете зарегистрироваться с ребенком в течение 7 дней. Когда я родила в 2000 году, меня обязывали зарегить ребенка в срок 30 дней. На что при этом ссылались - не помню.

в административном регламенте нет ссылки на срок, в течение которого должен быть зарегистрирован новорожденный ребенок. Но у нас, например, и медполис на ребенка выдают только после того, как он будет зарегистрирован, и все пособия, детское питание и прочее.

У нас внучка полтора года была ни где не зарегистрирована

Можно потом. когда угодно. прописка нужна только когда в садик пойдет. а до этого можно не прописывать если не хотите