При съёме квартиры прописка меняется?

"буду снимать квартиру отдельно в другом районе", Ну и снимай, на здоровье. В пределах региона снимаешь квартиру, менять место регистрации не нужно. Потребуется обращение в поликлинику, если она будет далеко от дома, можешь обратиться в любую...
Письмо из военкомата придет по месту регистрации, получат родители и позвонят.. Никаких проблем у тебя не будет!

Прописка отменена 25 лет назад. Пора бы об этом знать.

Что касаемо регистрации - на твоё усмотрение.
Потому как:
"...Гражданин Российской Федерации вправе не регистрироваться по месту пребывания в жилом помещении, если жилое помещение, в котором он зарегистрирован по месту жительства, находится в том же или ином населенном пункте того же субъекта Российской Федерации."

То же самое, можешь и хозяину квартиры пояснить, если он будет настаивать на твоей временной регистрации (что бы ему не налететь на штраф по ст. 19.15.2. КоАП)

По поводу Военкомата - вообще-то, положено сообщать, если будешь проживать по другому адресу.

Если тебя пропишут в съемной квартире (в чем я сомневаюсь), то тогда она поменяется. До тех пор твоя прописка, та что написана в паспорте, независимо от того где ты живешь.

к поликлинике вы прикреплены, если переехали - можете прикрепиться к другой, а можете и не прикрепляться, но если не прикрепились и требуется выезд врача на дом - если не их участок - из старой к вам не поедут, из новой тоже-не прикреплен. Прикрепиться можно и без регистрации. Скорая не откажет в любом случае.

Вы путаете прописку и регистрацию

можно быть прописанным в одном месте, а жить в другом. в съемную квартиру тебя не пропишет никто

Прописка не меняется, не регистрация ведь