Замена паспорта. Начать в одном регионе, закончить в другом

Так можно только через ГАЗ-услуги

ДА, вполне можете!
Порядок действий в такой ситуации прямо предусмотрен в п. 183 и 183.1 Административного регламента МВД РФ по предоставлению государственной услуги по выдаче, замене паспортов гражданина РФ", удостоверяющих личность гражданина РФ на территории РФ", утв Приказом МВД России от 13.11.2017 N 851
В соответствии с указанными нормами Вы можете вернуться к месту своего пребывания или фактического (вообще без регистрации) проживания в другом регионе и там в ЛЮБОМ тер. подразделении МВД (по вопросам миграции) подать Заявление в произвольной форме.
В результате это подразделение МВД (во взаимодействии с подразделением по вопросам миграции в "городе постоянной прописки") получает Ваш новый паспорт и выдает его Вам.
Правда, непонятно зачем Вам для подачи документов на замену паспорта (заявления и т. д.) ВЫЕЗЖАТЬ "в город постоянной прописки" (правильно - регистрации по месту жительства)?
Согласно Положения о паспорте гражданина РФ "10. Выдача и замена паспортов производятся территориальными органами МВД РФ по месту ЖИТЕЛЬСТВА, по месту ПРЕБЫВАНИЯ или по месту ОБРАЩЕНИЯ граждан в порядке, определяемом МВД РФ".
Значит, согласно этой норме, а также п. 27.2, 27.2.1 и 71 указанного Адм. регламента МВД РФ Вы имеете полное законное право подать Заявление о замене паспорта (и иные необходимые документы) НЕ только "в городе постоянной прописки", но и в ЛЮБОЕ подразделении МВД на территории РФ, в т. ч. и по месту Вашего ФАКТИЧЕСКОГО проживания, даже если Вы там вообще и никак НЕ зарегистрированы
Срок выдачи нового паспорта в этом случае НЕ должен превышать 30 дней.
Удачи.