скажите пожалуйста, чтобы учавствовать в аджилити собака обязательно должна быть с родословной?

Да

Просто заниматься вы можете и с беспородной собакой. А вот к соревнованиям допускаются только собаки с родословной.

Думаю- вряд ли- главное, чтобы вы уже были умные и умелые! А ваши дедушки- прабабушки вряд ли тут кого волнуют ...

По правилам FCI:
"Допускаются к участию в:
а) Официальных соревнованиях, зарегистрированных в FCI, с присуждением сертификатов FCI по Аджилити и квалификации для национальных соревнований и Мировых Чемпионатов FCI:
- все собаки в возрасте 18 месяцев и старше, имеющие родословные, признаваемые FCI, зарегистрированные клубом, причастным к Национальной кинологической организации (НКО) , принятой в члены FCI;
- участники должны иметь рабочую книжку или лицензию (разрешение) их НКО с записью результатов соревнований.
б) Неофициальных соревнованиях
- все собаки в возрасте 18 месяцев и старше, с родословными или без них; однако собаки должны иметь татуировку, а владельцы (хэндлеры) должны быть членами клуба, причастного к Национальной кинологической организации (НКО) , принятой в члены FCI. Не допускаются к участию:
- беременные суки
- пустующие суки
- собаки явно больные или увечные.
Собаки, прибывшие из регионов, зараженных бешенством (или следующие в них) , должны иметь сертификат о вакцинации против бешенства. "
То бишь для участия в официальных соревнованиях по аджилити, санкционированны FCI родословная нужна, в неофициальных - нет.

да, допускаются только породистые собы, те с родухой

нет! Аджилити это не выставка и не проверка рабочих качеств собаки. На соревнования по аджилити, фризби допускаются собаки любых пород и непород!

на усмотрение организаторов, если это уже соревнование .Если просто для себя - по хорошему требовать не должны

да