Какие вопросы следует задавать тем кто берёт щенка у нас бесплатно, что бы собака не попала к живодёрам и т. п?

Во-первых желательно отдавать щенка под договор (если нужно могу скинуть образец) , предупреждая что отдаёте щенков под договор вы уже отсекаете некоторую часть ненадежных ручек, желательно чтоб в договоре был пунктик об обязательной стерилизации по достижению возраста.
Во-вторых щенка отвозите сами, чтоб посмотреть условия в которых будет содержаться щенок, будет очень хорошо если новые хозяева уже оборудуют место для щенка ( миски, лежанка, игрушки) и купят необходимую аммуницию. Был ли опыт содержания собак, какие были собаки, сколько прожили. Спрашивайте чем они собираются кормить щенка, будут ли прививать вовремя, готовы ли терпеть лужи и кучи первое время, готовы ли к тому что будут попорчены и погрызены вещи ( испорчен ремонт) .
Предупредите что будете звонить, и при желании даже можете приехать. Объясните это тем что очень привыкли, что вложили очень много сил (денег, души) в выращивание воего щенка, и вам нужно знать что щенок будет любим и окружён заботой.
Ну и на уровне интуиции, бывает что чувствуешь что "не то", если новые хозяева не нравятся, прощайтесь с ними не задумываясь.

никак не узнаеш, бывает такое что люди когда берут кутят, потом наиграться могут и выкинуть, единственное что можеш сказать
если будете выкидывать лучше скажите и я приеду и заберу обратно,
потом будеш заново искать хозяев

и еще отдавай кутят в частный сектор и проверяй дача там или постояно живут (если дача то не отдавай, потомучто дачники в 90% выкидывают потом) потомучто то что в квартире будут держать именно метиса маловероятно
в частном секторе (деревня, а не в городе частный сектор) врядли выкинут, они имено собаку берут, а не игрушку в квартиру детям
и желательно адрес знать кому отдаеш, чтобы через недельку, отом через месяц, и потом еще позже проверить, только тихо иза угла чтоб не видели
если выкинут в частном секторе там всегда можеш найти щенка и забрать

Вообще то щенков бесплатно не отдают, хоть малую денежку, а взять надо. Тут уж сразу видно, что за человек, если 500 или 1000 ( в зависимости от региона) рублей пожалеет, то щенка лучше не давать.

Кастрируют ли они собаку перед тем, как выкинуть на улицу, если надоест.. . Дабы не плодилась, а то дворни и так навалом...

Надо отдать его с добрым сердцем и не переживать, тому кто сам за ним придет.

когда вы сможете его навестить? у нас хозяева кавказца два раза приезжали, не жалко, он ведь почти их дите.

Я хоть и не отдавала собак (ттт) , но думаю, что в первую очередь надо посмотреть, как сам пёс к новому владельцу относится. Сначала при передаче у Вас дома, потом напроситься в гости и проверить уже там.

Мой кобель как-то сразу отличает хороших людей - подходит, хвостом виляет, в глаза заглядывает. К тем, кто через секунду скажет "Ну, что за тварь... ", ни в жизнь не приблизиться и уговаривать бесполезно.

Спросить про условия содержания, опыт (были ли другие собаки) , для кого (вдруг ребенку) , кастрируют ли, не собираются ли размножать (разведенцы не лучше живодера, особенно если зверь хотя бы отдаленно напоминает какую-нибудь породу - превратят животное в вечного производителя/вечный инкубатор) . Только все это не в форме допроса а более-менее дружелюбно.
И желательно, что бы человек пообещал хотя бы иногда писал как у собаки дела, как растет не болеет ли чем с фото.

любите мясо собак?

навещать, да и сушиствуют соц сети и все там сидят
да и по человеку видно, и сабака мать сама чувствует если человек плохой