Для начала подберите шлейку по размеру для кота (британцы крупные вырастают, поэтому шлейка не должна душить и давить сильно где-то) . Приучать к самой шлейке лучше всего дома - одевайте на кота, пусть по дому ходит в шлейке, но без поводка. Просто привыкнуть. Как только привыкнет - можно постепенно приучать к улице (убедитесь, что у вашего кота сделаны все прививки - подцепить заразу на улице проще простого) . Первое время выносите кота в переноске. Пусть он будет в шлейке и на поводке (чтобы не убежал) , но выгонять его из переноски сразу не надо - перепугается и, если не убежит, то на улицу больше вообще не вытащите, даже в переноске.
Первые разы лучше всего недолго посидеть с котом на улице (кот в переноске, в шлейке) . Пусть он привыкнет к шуму, в идеале если в переноске будут отверстия или щелочки, чтобы он мог посмотреть, что происходит снаружи. Но первое время переноску лучше не открывать - это пока его единственная территория на улице.
Позже, когда кот привыкнет к улице и к шуму, можно открывать переноску (кот на шлейке и не поводке) , постепенно кот сам начнет потихоньку выходить из нее. А там уже и до полноценных прогулок недалеко. Главное в этом деле - не торопиться и всё получится.
Когда будете гулять - убедитесь, что поблизости нет собак и не очень много людей. В идеале тихая полянка где-нибудь подальше от домов и дорог.