Какую собаку посоветуете купить?

Служебные собаки все не маленькие. Если не линяющие (точнее, линяющие мало) , то это ризеншнауцеры и русские чёрные терьеры. Для семьи ещё очень хороши кане-корсо и немецкие боксеры. Овчарки тоже хороши (немецкие, восточноевропейские, бельгийские) , но шерсть от них есть (впрочем, так же как от боксеров или кане корсо) .
Дёшево служебная собака вас не обойдётся, это точно. Во-первых, надо выбирать щенка в приличном питомнике, с устойчивой психикой: мало приятного, иметь дома собаку с охранными качествами и какими-то заскоками в мозгу. Во-вторых, чтобы собака охраняла и защищала, а не просто брехала и кидалась на людей и собак, её нужно дрессировать, проходить ОКД и ЗКС, нанимать инструктора. Собаки служебные крупные, с мощным костяком, поэтому много едят, много двигаются.

У моих соседей был обалденный ротвейлер - умнейшая животина.. . Но и она линяла...

кане корсо

Сторожевая собака не может быть миниатюрного размера.. . Если брать сторожа, либо Немца
Либо Кавказца

немецкая овчарка.

Небольшая, недорогая, лысая охранная собака?

Не линяющая? Все собаки линяют, кто-то больше, кто-то меньше. Немецкая овчарка более-менее подходит

Мне кажется может подойти, кокер-спаниэль, бигль. На авито можно найти не дорогую. А линять собака будет все-равно, просто ухаживать за шерстью и она будет линять меньшь.

Немецкую овчарку надо держать в вольере, а не дома! Покупай английского спаниеля, он небольшой, охотничий, думаю линять будет немного. И стоит намного меньше немецкой авчарки.
Немецкая овчарка может стать агрессивной, и опять же она не для дома!

Стаффорд
дешево точно не обойдутся сторожевые