Как ухаживать за котёнком? ему 1,5 месяцев.

Домашнего кота либо вообще выпускать не надо (НИ РАЗУ), либо постоянно его отпускать, но он не убежит, если, конечно, у вас нет склонностей к садизму...

не надо его забирать. котят отлучают не младше 2.5 месяцев

купи лоток кошачий туалет совок 2 миски для еды и воды (по началу вместо воды молоко)
еще понадобится закрывать некоторые двери и только с возрастом пускать кота в новые комнаты

по питанию почитай, например, тут: http://murkote.com/chem-kormit-kotenka/
нужно купить небольшой лоток, наполнитель для лотка и совок, чтобы убирать. по поводу наполнителя посоветуйся с тетей - возможно, она уже приучала котят к туалету. в этом случае лучше взять тот же самый или очень похожий наполнитель. если нет - покупай комкующийся, к нему легче приучить.
когтеточку, к которой котенка лучше приучать с детства, чтобы не покушался точить когти о мебель и обои. больше всего они обычно любят когтеточки с обивкой "как у мягкой мебели":)
две мисочки - для еды и воды. лучше керамические или стеклянные. можно отдать котенку обычное блюдце.
оборудуй ему "кроватку", застелив мягкими тряпками или маленьким одеялом любую коробку. но скорее всего, он будет упорно проситься спать с людьми)
моют кошек крайне редко, когда они умудрились сильно испачкаться. регулярно моют только голых сфинксов, потому что у них из-за отсутствия шерсти для защиты кожи вырабатывается дополнительный жир. "меховые" кошки прекрасно заботятся о своей чистоте сами, вылизываются, и этого достаточно.
гулять с таким маленьким котенком точно не нужно. да и когда подрастет, скорее всего, тоже - породистых кошек обычно не выпускают. у меня соседи выпускали сиамку - украли. кроме того, когда кошка с рождения росла дома и с 1,5 месяцев вокруг были только люди, у нее обычно нет нужных навыков: как вести себя на улице, как реагировать на опасность, как правильно общаться с сородичами, некоторые из которых бывают весьма агрессивными... обычно в возрасте где-то 8 месяцев котов кастрируют, чтобы не метили и не бесились, и они прекрасно живут дома. не надо думать, что "жалко" - со многих точек зрения, наоборот, более гуманно. животное живет дома и не мучается от неудовлетворенных желаний, не подвергается многочисленным опасностям улицы - жестокие люди, собаки, машины, драки с другими кошками, блохи, клещи и инфекции. если уж потом все-таки надумаешь выгуливать - только на шлейке и поводке.
ну и конечно, переезд в новый дом - это стресс. главное - не затискать котенка на радостях, давать ему побыть в покое, освоиться, возможно - отсидеться в "укрытии", которое он выберет. потом не забывай с ним играть. лучше каждый день. любой веревочкой или шуршащей бумажкой.
первое время нужно будет хорошо присматривать за таким крохой - чтобы не залез, куда не нужно. убрать из зоны доступа комнатные растения - большинство из них токсичны для кошек, а маленький котенок, как и ребенок, может пробовать на зуб все подряд.

Главное, никогда не кормите дешевой отравой типа вискаса китикет.
Котенку нельзя тяжелой еды, можно кашку с молоком разводить. Это можно.

кошек не купают