Как упросить маму купить щенка?

Может быть, стоит сделать перерыв? Небольшой. Потом уже попросите.
Если откажет-то откажет.
Мать может быть разной по настроению, и может сейчас горевать о вашей прошлой собаке.
Сделайте перерыв, серьёзно. Потом найдите "подходящий момент" и дерзайте с просьбами.

Предложи сама

никак, если мама захочет и решит купить собаку, она это сама и сделает

Жил-был ПЁС. Я тоже стал жить. Уже 13 лет, как живу. Тот пёс родил 5 песёнков. А я не могу, не получается никак. И я стал канючить у мамки: "Мамка, купи мне песё,а то щас зареву... уууууу... ну купи!.. Я хочу пёску!... Дай мне сцобак! ааааааа.... бла, бла, бла... Купи, а то щас как дам!... аааа... Хочу хотеть добачу... аааа. бэбэбэ" Ей это надоело--купила, на мол, подавись. Я его стал кормить 8 раз в день простоквашей и смородиной с сахаром. Но он этого не хотел кушать, а всё время лазил на стол и лопал котлеты. Потом тут же срал. Я очень полюбил своего песенчика и стал звать его сцобакой Шарик. Когда он подрос, то стал громко лаять на всех, кого увидит и не давать мне спать. А мне надо в школу рано вставать, но сначала зубы чистить. Я этого не любил, Шарик тоже. Когда Шарик выходил на улицу, то он бегал за кошкарём соседским по имени Киса-Мурыса. Кошкай всегда убегала от Шарика на дерево и сидела там, пока серсо не замрёт. Когда Шарик вырос и стал Шаром, то он стал гоняться за другими человеками. Он же друг человека, а не людей. Укусил бабку Марфу и его пришлось отдать в хоспис к Куклачёву. А мою мамку оштрафовали на 3 тысячи рублёв. Я долго плакал, но это продолжалось не долго и я стал опять канючить. Мамке это надоело и она меня стала женить. Когда поженила, у меня родился свой сцо... это... как его?.. Ребёночек. И тоже стал срать и орать. Я его стал кормить по 10 раз в день простоквашей и смородиной с сахаром. Но чё-то плохо ест., морду воротит. Наверно сдам...

Ну предложите. Чего смысл здесь гадать? Откажет значит откажет. Тоже маму поймите. Если как Вы пишите у Вас действительно недавно умерла собака возможно мама пока не готова взять новую собаку тоскуя по предыдущей. Дайте ей время и не лезьте с просьбами.

Симпатично сфотографировать и показать маме.

Берите щенка. Вам легче будет в заботах о новом друге. Тоже пережили такое.