Чем можно купать собаку, кроме специальных шампуней?

Детским шампунем всегда мыла. У него нейтральный pH и минимум добавок. Тестируется такой шампунь на безопасность, явно не хуже чем собачий. Шампунь лучше развести с водой, в отдельном пластиковом флаконе из-под того же шампуня, так легче равномерно (как из брызгалки наносите на мокрую шерсть) нанести его и потом смыть.
2-3 раза в год, никаких проблем не возникнет. Если собаке нужен регулярный уход за шерстью, то тогда лучше приобрести спец средства.
Детское мыло (и вообще мыло) оставляет налёт на шерсти, она не выглядит шелковистой. Хоз мыло, что часто советуют, сильно сушит кожу. Дегтярным не пробовала. Про Фейри - бред. Это крайний случай, если собака измазалась так, что уже ничто не помогает. Явно не для обычного применения, а когда грозит отравление химией, как меньшее из зол.

Дегтярным мылом.

если очень испачкалась, то разово можно выкупать и своим качественным шампунем, а постоянно собаку не нужно накупывать

Она прям вот сильно грязная? Разово можно вымыть своим шампунем, но советую приобрести шампунь для собак.

Желательно всё-таки специальными шампунями.
От одного раза вряд ли что-то случится, если вы вымоете её детским шампунем или дегтярным мылом. Хотя, если собака склонна к аллергии. у неё есть проблемы с кожей, то можно и одним разом навредить.
Обычно пытаются мыть хозяйственным мылом, детским мылом и шампунями, дегтярным мылом, но всё это собаке не очень подходит. Человеческое мыло очень сушит кожу собаки. Хозяйственное мыло тоже сушит кожу, вызывает перхоть, делает шерсть сальной и плохо промывается. Дегтярное мыло из человеческих вариантов наиболее безопасно для собаки, но сказать, что оно как-то положительно влияет или выводит блох, нельзя. Хотя запах у него сильный, собаке вряд ли понравится.

Даже со специальным шампунем лучше мытьём собаки не увлекаться. Собак рекомендуют мыть по степени загрязнения: либо если собака в чём-то испачкалась (в болото вонючее влезла, в тухлятине извалялась), либо планово 1-2 раза в год. Ради такого события можно и на спец. шампунь разориться, подготовиться. Чаще моют собак вроде йорков (у них несколько другая структура шерсти), но там и уход очень сложный, с проф. шампунями, кондиционерами, расчёсками, а то легко можно из собаки паклю сделать.

Своим шампунем помыть. У меня грумер была, просила покупать хед энд шолдерс.

Если нет специального шампуня, то можно искупать хозяйственным мылом 72%.

Фэйри

Если вы собираетесь экономить, то подойдет обычное мыло, что самое главное, оно должно быть недорогим, в дорогих больше химии. Намылить щетку (не жесткую) и тереть.