Пес брасается на кошек

10-летний мальчик, в любом случае, не должен гулять с собакой. На прогулке с собакой может произойти всё, что угодно: собака может погнаться за кошкой, может испугаться громкого звука и рвануть на дорогу, может сцепиться с другой собакой (причём, не обязательно, что ваша собака будет инициатором драки). С собакой должен гулять взрослый человек, способный контролировать собаку и сохранять спокойствие в разных ситуациях.
То, что собака выдрессирована хозяином, ещё не значит, что она будет слушать чужого человека. Собаке 5 лет, она привыкла к дому и хозяину, у неё есть привычки и модель поведения. Поэтому слушать чужого человека, а тем более ребёнка, она может и не стать.
Воспитывать щенка всегда проще, чем взрослую собаку переучивать. Что-то сделать под себя проще, чем исправлять за другими.
Корректировать поведение собаки можно у кинолога: или групповые занятия, или индивидуальные. Причём, именно хозяева должны заниматься с собакой, кинолог должен учить хозяев отдавать команды и работать с собакой. Отдавать собаку на время на воспитание нельзя: во-первых, без хозяина с собакой занимаются разводилы, во-вторых, даже если такой кинолог собаку чему-то и научит, то вы всё равно не будете знать, как дать команду или успокоить собаку.
От породы тоже зависит. Охотничьи породы собак (таксы, фокс-тереьры, скотчи, Джек-Расселы) очень склонны погонять кошек. Всё-таки инстинкт охотничий. Но надо отрабатывать команды "Ко мне" и "Нельзя", чтобы собака прекращала действие.

в 10 летнем возрасте выгул запрещен и тем более взрослая собака, не прошедшая корректировку поведения

На дрессплощадку идите и дрессируйте пса.

Не воспитан

Для 10-летнего хилого мальчика надо было брать щенка и нанимать кинолога. ВЫ же взяли взрослую собаку. Вероятно, до конца жизни на кошек будет кидаться