Как называется команда, когда собака прыгает на стул, диван, скамейку? Как называется команда спрыгнуть вниз?

вперёд!

Для преодоления препятствия есть нормативные команды "вперёд" и "барьер". Если мне нужно, чтобы собака запрыгнула на препятствие и оставалась на нём, использую команду "сюда". Если это что-то маленькое по площади, типа балансировочной подушки-ёжика, использую команду "весь", чтобы собака водрузила туда все 4 лапы.
Команду на спуск даю лишь в случае, когда собака может не увидеть мой жест и при этом рискует заработать травму, если не спрыгнет прямщас, например, при выполнении трюков на моей спине или вытянутых вверх ногах (т. н. футстол). И команда "слезай" тогда подаётся, если я понимаю, что больше не могу держать на себе половину своего веса и мы вместе улетим, ну или мне собака на спине в принципе больше не нужна и он должен вернуться на землю.

У меня одна команда "вперед" и на преодоление любого препятствия. и для запрыгивания куда-то. и просто для движения в указанном направлении. Тоже самое жестом. Чтобы собака не спрыгнула со стула/пенька-есть фиксирующая команда-стоять/сидеть/лежать. Но научить можно каким угодно, хоть прыг, хоть скок, хоть вверх, хоть вниз, главное, чтоб вы их сами не путали. иначе собака не будет выполнять нормально.

любые прыжки - это обычно или нормативная команда "вперед" (и она же для преодоления любых других препятствий, бума, лестницы), или короткое, но ненормативное "ап". плюс варианты, типа слазь, прыг, вниз, барьер и прочее. но лучше голову собаке не дурить и обозначать все прыжки одинаково

Проще - " К ноге".

Любое слово к которому Вы закрепите эту команду. Например "вниз". Можно даже научить спрыгивать по команде "кукурузник".

В цирке -"Але-Оп!"

Как назовёте, так и будет называться. Я использую "ап"