Почему собак называют шариками, котов - васьками, а борова - борьками?

Оказывается, по-польски «серый» будет szary («шарый»), отсюда и кличка.
Есть и другая версия. Шариками собак сделали крестьяне, чьи уши не воспринимали французского Chéri («милашка»), которым дворянки звали своих комнатных любимцев.

С Шариками мы разобрались, но почему коты — Васьки?

Некоторые связывают это со славянской мифологией. До введения христианства на Руси наши предки почитали всемогущего бога подземного царства, скота, богатства и всех лесных животных — Велеса. Велес мог принимать образы разных зверей, главное, чтобы тот зверь был мохнат — медведь, например. Кот являлся спутником бога Велеса.

После введения христианства на Руси язычество долго сохранялось. Но имя Велеса было запрещено, и древний бог стал принимать в сознании русичей образ Святого Власия или Святого Николы. Святой Власий был покровителем скота. Вот в честь святого Власия в деревнях и стали называть котов Васьками — в память о Велесе.

Поэтому при обращении к их Мяукающим Высочествам необходимо помнить, что в каждом из них есть дух великого Велеса.
А Борька это не кличка - это сокращенное от борова.

Шарик потому что маленькие щенки могут быть кругленькие , как шарики.
Коты Васи наверное от того, что раньше это было довольно популярное и простое для запоминания имя.
А Боровы Борьки , скорее всего, от того, что похоже звучит.
Борьки, не обижайтесь только