Если математику невозможно обосновать средствами её самой, как быть с остальными науками, которые её используют?

Если уж говорить о математике, давайте четко определять, что вы хотите сказать и какие проблемы для остальных наук вас беспокоят.

Теоремы Геделя о неполноте - это одно, гарантия тотального выполнения аксиом - это совсем другое, а использование математических средств или моделей в других науках - это вообще, третье.

Что конкретно-то вас беспокоит? Что аксиомы постулируются? Ну и что? В любой математической теории есть система очевидных утверждений, на которых и строится вся теория - придумываются теоремы и доказываются с помощью этих аксиом. Если у вас по какой-то причине вызывает сомнение очевидность какой-то аксиомы, то вы просто не используете теоремы. Находите другую область математики, или сами создаете систему аксиом и строите на ней теорию, чтобы спокойно использовать получаемые выводы. Понятно, что если, например, физики используют какую-то математическую теорию, то они сначала знакомятся с аксиомами, на которых она построена и с доказательствами нужных им теорем, и если возражений у них не возникает - используют. Принятие на веру математических аксиом или принципов математической логики - это не самое слабое звено в основаниях или цепочке рассуждений любой научной теории, а скорее самое сильное, которое вызывает меньше всего сомнений.

Или вас беспокоят теоремы Геделя? Ну, по-моему, они должны беспокоить только тех, кто пытается создавать искусственный интеллект. Эти теоремы в первую очередь говорят о том, что наш мозг - это нечто больше, чем большой и очень сложный компьютер. Мы, например, согласно первой теореме, можем понять истинность утверждения, которое, недоказуемо в рамках любой, заранее определенной системы аксиом. А значит мы может понять истинность того, что никогда не сможет понять никакой, даже самый сложный компьютер. Но это же не значит, что математика может содержать ложное утверждение, правильно?

Вторая теорема Геделя более неприятна для математиков, она говорит, что невозможно доказать непротиворечивость системы, не выходя за ее рамки.. . Ну да, с философской точки зрения - не приятно.. . Но с практической - никаких проблем. В любой науке (и в самой математике для доказательства новых теорем) используются конкретные теоремы. Истинность которых вы можете проверить непосредственно. Все они, в конечном счете, выводятся из аксиом и этот вывод вы всегда можете проследить от самого начала. Так что, если верите аксиомам, можете спокойно использовать и любую теорему. Гедель утверждал только, что невозможно доказать, что если вы выведите из аксиом все возможные теоремы, среди них не окажется противоречивых. Он не утверждал, что противоречия появятся! Он утверждал, что заранее это доказать нельзя. Ну и что? Какое вам дело до всей бесконечности возможных теорем, которые можно вывести? Для практических целей вам нужна какая-то одна конкретная теорема - вот ее истинность и непротиворечивость всему тому, что вы используете в своей работе и проверяйте. Ничего против того, что возможно доказать непротиворечивость между конечным набором теорем, оставаясь даже в рамках одной системы, Гедель не имел.. .

Да, я согласен, что вторая теорема Геделя выставила математику в не очень красивом свете, но к ее использованию в других науках это не имеет никакого отношения. И никаких сомнений в истинности каких-то аксиом или теорем, теоремы Геделя не добавили.

В общем, нормально, все с математикой - пользуйтесь спокойно!

Математика - это всемирный уговор. Причём, естественный. Один - это везде один, а не два и не три))... и т. д.
Надо же было что-то взять за основу здания, чтоб возводить на ней всё остальное. Но пока ещё фундамент не подводил.

Используем мы ее в других науках, как инструмент познания.. Неужели для того, чтобы использовать молоток, надо это обосновывать?

Гарантий возможно и нет и пока нет признаков их нарушения их используют. )

Ученым пофиг на это противоречие