Зависит ли скорость работы сайта от движка?

Существенно зависит.
Есть такие особо тормозные движки, в которых если сайт работает с базой данных, то надо на хостинге арендовать тариф с большой оперативной памятью.
Поэтому предпочитаю движки, которые не используют MySQL и подобные вещи, где под базу данных используются обычные текстовые файлы.

при неверной настройке любой движок может тормозить
т. ч. зависит от настройки, а не от названия CMS

Самое узкое место, с чего все проблемы начинаются - неоптимизированная база данных (много чтений - нужна одна база, много сложно связанных сущностей - другая) + как с ней слой ORM/DBAL взаимодействует. Соответственно, в первую очередь от выбора базы и инструментов работы с ней (насколько они гибкие, как делается миграция, чувствительность к изменениям структуры, что с шардингом и т. п.) будет зависеть производительность. На уровнях повыше ты можешь все разбросать по отдельным инстансам, потокам, серверам и т. п. конструктам, в т. ч посредническим, вроде проксирующих/кэширующих серверов. А все эти штуки могут быть виртуальными машинами, автоматически конфигурируемыми на мощностях DC/ЦОД, как у Clodo/Selectel/Jelastic и т. п. Поэтому от оборудования хостера много чего зависит, оно накладывает ограничения сверху на возможности серверов обработки данных, выше которых не прыгнешь, ведь одно дело данные в RAM складывать, другое дело на SSD, третье на HDD 1917 года... Если используется слой абстракции данных и механизмы объектно-ориентированного отображения, то твоя производительность - чисто архитектурное решение по базе + вычислительные возможности физических машин.

Зависит, так как у каждого движка - разный подход к реализации одних и тех же задач. Это связано с тем - что у каждого движка и разное применение.

Чем проще и компактнее движок - тем быстрее он будет работать. Хотя - еще зависит от грамотности производителя этого движка.

Кроме движка - конечно же еще имеет значение оборудование, на котором размещен ваш сайт.

Да, зависит.

Конечно. Если он сжирает все ресурсы, то и скорости не видать