Если нужно создать сайт с использованием php,то index страница должна быть написана на php?

Все, что здесь посоветовали, подразумевает, что вы используете смс.
На самом деле, сайт полностью может быть написан на html. А php использовать только там, где требуется динамическое содержание. Но если вы используете код php на странице, то файл должен иметь расширение. php. Или менять настройки сервера.
Например, сайт phpinternalsbook.com написан на html, а страница обработки поиска по сайту на php.

Файл php отличается от файла html только тем, что МОЖЕТ включать в себя php-код. А может не включать - и содержать только HTML / CSS / JS. Какая разница, какое в этом случае расширение у файла?

По-хорошему лучше пользоваться каким-либо шаблонизатором, чтобы полностью разделить html и php. Тогда будет красиво

А чисто на аяксе сайты не делают, иначе заглючит у пользователя js, либо пользователь вообще отключит js, и всё - сайт не работает

Лучше сделать отдельно html и php и ajax общаться

да и индекс и все страницы должны быть php в этом случае

Вовсе это не обязательно. Это может быть index.html, содержание которой редактируется php-скриптом.

сейчас в приоритете вообще ЧПУ, поэтому без разницы, куда вы там код пишете. А если сильно хочется - можете настроить обработку php-кода из html-файлов. А также можно прописать правило для mod_rewrite и заходить как на html файл, отображая при этом информацию из php.

сами сайты пишутся на HTML, а PHP нужен для создания на сайте анимации, регистрации, авторизации и т. д.