На сколько градусов нужно нагреть вещество для определенного увеличения энтропии?

Дано:
t1 = 25°C; T1 = 273 + 25 = 298 К
t2 = 50°C; T2 = 273 + 50 = 323 K
Δt1 = 50°C - 25°C = 25°C
-------------------------------------------
Δt2 - ?

Изменение энтропии при нагревании воды:
dS1 = m*c*ln (T2/ T1)
dS2 = m*c*ln(T3 / T2)
Приравняем:
T2 / T1 = T3 / T2
T3 = (T2)² / T1
T3 = 323² / 298 ≈ 350 К
t3 = T3 - 273 = 350 - 273 = 77°C

Δt2 = t3 - t2 = 77°C - 50°C = 27°C

Пусть удельная теплоемкость c вещества не зависит от температуры. 25°С = 298 К, 50°С = 323 К.
Энтропия: dS = dQ/T, где dQ = c*m*dT.
ΔS1 =  ∫dQ/T =  c*m*∫dT/T [по Т от 298 до 323] = c*m*(lnT)|[по Т от 298 до 323] = c*m*ln(323/293).

ΔS2 =  ∫dQ/T =  c*m*∫1/T[по Т от 323 до Tₓ] = c*m*(lnT)|[по Т от 323 до Тₓ] = c*m*ln(Тₓ/323).

По условию задачи: ΔS2 = ΔS1. Приравниваем их: c*m*ln(323/298) = c*m*ln(Тₓ/323). Сокращаем: ln(323/298) = ln(Тₓ/323). Раскрываем: - ln298 + ln323 = - ln323 + lnТₓ. ==>
- ln298 + 2*ln323 = lnТₓ ==> lnТₓ = 2*ln323 - ln298. ==> lnТₓ = 5,858. ==> Тₓ = exp(5.858) = 350 K.
Тₓ = 350 К = 77°С. Значит, надо нагреть на Δt = 77 - 50 = 27°С.
Ответ: Δt = 27°C.