Что люди пытаются доказать, навязывая другим свое мнение? Блеснуть своим умом?

Они самоутверждаются в первую очередь.
Ведь если переубедить кого-то, навязывая свою точку зрения, их уже двое как минимум и от этого самому легче верится в свою точку зрения) )
Плюс ко всему, блеснуть умом и хорошей сообразительностью, тем самым "поставить себя на ступень выше"

исключительно блеснуть чешуей )

Нет, убедить самих себя в правильности своего мнеия. Ведь когда сам так считает - маловато. А когда кто-то разделит какое-либо убеждение (пусть даже силком навязанное) это уже, вроде как, не только его мнение. .
По большому счёту всё это - те же комплексы неуверенности в себе и т. п. Глубоко запрятанные даже от самого себя, конечно..

доказывают теоремы.. и то иногда не так успешно.. .

достаточно просто иметь своё мнение.. .

Отполировать чужой ум.;)

Наверно то что людьми можно манипулировать. Хотя кто его знает может просто, стоят за идею и доказывают себе, что они кому то нужны, и к их мнению прислушиваются )))

Есть люди с напряженно-авторитарным характером ( эпилептоиды по псхотипу) . Они очень прямолинейны и в мыслях, и в чувствах. И для них, как правило, существуют только две точки зрения- ИХ и НЕПРАВИЛЬНАЯ, поэтому и навязывают своё мнение.

может быть и это....

Все просто-они ведут диалог-монолог-сам с собой.

Просто привычка давить . Жажда власти- замаскированная или педагогикой или заботой или режиссерскими замашками- вариантов много.

удовлетворить самолюбие)