Помогите решить такую задачу по педагогике: как препод должен отреагировать на карикатуру на себя на доске?

Улыбнуться - это же дети) в зависимости от эмоционального фона карикатуры поздороваться и сказать:
- рада, что у вас сегодня хорошее настроение и вам весело)) мне нравится))) какая я тут миленькая у вас - здорово получилось..)) и у меня отличное настроение, надеюсь, вам тоже понравится урок)) давайте приступим к занятию! кто сегодня дежурный? подготовьте доску к занятию, пожалуйста))
- какая грустная/не радостная карикатура... жаль, что у вас такое настроение сегодня... попробуем его исправить интересным уроком?))) кто дежурный сегодня?) подготовьте доску к уроку, пожалуйста)

Если у него нет чувства юмора, то не знаю.

как угодно но не навреди...

А вам какое решение нужно? Правильное или идеальное, как в учебнике?

Добавить детали что б усилить эффект от карикатуры, совместно со студентами, вызвав общий смех смеясь со всеми....
Тогда студенты сразу прймут что свой и не ведётся на троллинг...

Посмеяться, стереть и начать урок.

Выяснить, кто это сделал, иначе будет наказан весь класс. Потом замечание в дневник, отвести к директору, родителей вызвать. И извинение перед учителем при всем классе с обещаниями, что больше такое никогда не повторится. А ещё виновный или виновные пусть экзамен некоторое время не смогут сдать. Придираться конкретно к каждой мелочи.
Вообще, уважение учитель должен заслужить, не переходя ни на панибратство, ни используя методы запугивания. Но реально мало кто так делает, и вообще может делать. С учениками нужна строгость. С мелкими - не сильная, а вот со старшими - максимальная.

Разобрать по косточкам качество самого рисунка и чуточку покритиковать себя и обязательно с юмором

пожалуй, Вам придецца так и сказать детям - хз, чо с вами делать то *)

Вызвать дежурного помыть доску. Дети глупые, но, если заострить внимание, то они сразу почувствуют отношение.

А на педагогической кафедре разве не преподают такие ньюансы?

задать внеплановую сложную контрольную, надо же ребят потешить и усмирить)
пусть потом побегают исправляя двойки)