Можно ли прописать или зарегистрировать в квартире, которая на ипотеке, сдавать её в найм?

Прописать нельзя, так как институт прописки отменен в принципе.
Зарегистрировать - пожалуйста.
По поводу сдачи в наем:
Согласно Федеральному Закону «Об ипотеке (залоге недвижимости)» , «залогодатель вправе извлекать из имущества, заложенного по договору об ипотеке, плоды и доходы» . Как указывается в тексте закона, залогодатель (покупатель квартиры) вправе без согласия залогодержателя (банка) сдавать заложенное имущество в аренду при условиях, что срок, на который имущество предоставляется в аренду, не превышает срока обеспеченного ипотекой обязательства, и имущество предоставляется в пользование для целей, соответствующих назначению имущества. Но здесь следует учесть важную деталь. Сдавать заложенное имущество в аренду без согласия банка можно только в том случае, если в кредитном договоре отдельно не прописаны положения, касающиеся сдачи в аренду квартиры, купленной по ипотеке. Если в договоре заемщик обязан взять разрешения у банка-кредитора на аренду квартиры, а на самом деле этого не сделано, узнав об этом, банк может оштрафовать заемщика на срок, пока заемщик не уст ранит данное нарушение. Штрафные санкции не начисляются с того момента, когда предоставлены документы, которые подтверждают устранение нарушения. PS По договору ипотеки банк имеет право, обычно раз в год, узнавать о состоянии своего залогового имущества, о его виде на конкретный момент, об основаниях нахождения в квартире определенного лица.

Можно, это ваша собственность.

Можете всё, а насчёт сдавать уведомите банк, они же понимают прекрасно, что аренда это ещё один ваш источник дохода. Банку главное что бы вы платили по ипотеке, и сдаваемых ипотечных квартир очень много, некоторые специально под аренду берут квартиры

легко!!!!