Можно ли обращаться одновременно сразу в несколько агенств недвижимости? (заключая при этом договор)

Можно, только в чем смысл такого метания? От того, что ваше жильё будет рекламировать несколько агентств в городе, вы только потеряете, т. к. покупатель пойдет в то агентство, где цена объекта ( вашего объекта ) ниже - т. е. вас понизят в цене, чтобы привлечь клиента, и вас убедят, что это единственный покупатель, а время идет...

обращаться можно, но они не будут с вами работать.... надёжней и дешевле продавать/покупать недвижимость с помощью знакомого агента. Большинство "агентств" в Москве, например, обманывают не только своих сотрудников - агентов, но и своих клиентов.. . И, чем известнее "агентство", тем больше у него опыт в обмане.. . Заявляя об 1-3 процентах комиссионных, используя серые схемы, берут не менее 10-15% (300-700 тыс. руб. ) за сопровождение сделки купли-продажи недвижимости, при этом, сотрудник "агентства" получает в 4-5 раз меньше. Ещё один миф, распространяемый "агентствами" - ГАРАНТИЯ ЧИСТОТЫ СДЕЛКИ и выдача СЕРТИФИКАТОВ. После проведения сделки с заказчиком подписывается АКТ о выполненных работах и ОТСУТСТВИИ ПРЕТЕНЗИЙ - ЭТО ОСВОБОЖДАЕТ ИСПОЛНИТЕЛЯ от всякой ответственности. В лучшем случае, представители "агентства" выступят в суде, как свидетели...

Можно обратиться сразу в несколько агентств, кто первый найдет покупателя, с тем и заключать договор

Учтите только, что агент в процессе работы будет защищать и учитывать Ваш интерес только тогда, когда Вы уважаете его труд и, выбрав одного специалиста, работаете с ним.
В противном случае агент может начать трудится только в свою пользу. А Вам этом может быть ооооочень не выгодно.

Договора, как правило, эксклюзивные, т. е. агентство в единственном числе продает вашу квартиру и ни кто иной. Договор - это обязательство. А аванс покупатель тоже должен нести в несколько агентств?

Выберите одно агентство - это будет наиболее продуктивно. И вы будете знать с кого спросить за работу и агент будет знать за что работает. Единственное изначально побеседуйте пол часа с агентом, прежде чем договор подписывать, как он отвечает, как разговаривает, как законодательство знает... ну и по вечерам, раз в неделю, за чашкой кофе конечно нужно контролировать выход рекламы в СМИ...