Почему день Пресвятой Троицы называют днём рождения Святой Церкви?

Потому что на пятидесятый день сошел Дух Святой наружно и она стала действующей. Православной не было в помине тогда, а она возникла гораздо позже. Это была общая христианская вера без названий. Потом люди деградировали и стали придумывать названия церквям.

Сошествие Духа Святого .

1. Пятьдесят дней от дня Пасхи до праздника Святой Троицы. В первое воскресенье после Пасхи (второе воскресенье Пятидесятницы) воспоминается явление воскресшего Иисуса Христа апостолам и уверение ап. Фомы (см. Ин. 20: 24–29). Во вторник второй недели в Русской Православной Церкви совершается всецерковное поминовение умерших – радоница. Третье воскресенье Пятидесятницы посвящено свв. женам мироносицам (см. Мк. 15:40-41; 16:1-8). В четвертое воскресенье вспоминается исцеление Иисусом Христом расслабленного при Овчей купели (Ин. 5:1-15). В пятое – встреча Иисуса Христа и самарянки (Ин. 4:5-42). Шестое посвящено воспоминанию исцеления слепого (Ин. 9:1-38). В сороковой день по Пасхе (в четверг шестой недели) празднуется Вознесение Господне. В седьмое воскресенье вспоминаются свв. отцы Первого Вселенского собора. Суббота седьмой недели является Троицкой родительской субботой. В пятидесятый день, в воскресенье седьмой недели празднуется день Святой Троицы и Сошествие Святого Духа на апостолов, этот день также называется праздником Пятидесятницы. Понедельник после дня Святой Троицы – день Святого Духа. В первое воскресенье после Пятидесятницы совершается память Всех святых. С понедельника второй недели после Пятидесятницы начинается Петров пост. В Русской православной церкви во второе воскресенье совершается память Всех святых, в земле Российской просиявших. Богослужения Пятидесятницы, дня Святого Духа и дня Всех святых содержатся в Цветной триоди.

2. Праздник православной церкви, принадлежит к двунадесятым. Празднуется в пятидесятый день после праздника Пасхи (в воскресенье) . Иначе называется Днем Святой Троицы. Праздник Пятидесятницы посвящен Сошествию Святого Духа на апостолов: на пятидесятый день после Воскресения Иисуса Христа (и на десятый день после Вознесения) , когда апостолы собрались вместе, "внезапно сделался шум с неба, как бы от несущегося сильного ветра, и наполнил весь дом, где они находились. И явились им разделяющиеся языки как бы огненные, и почили по одному на каждом из них. И исполнились все Духа Святого, и начали говорить на иных языках, как Дух давал им провещавать" (Деян. 2: 24; см. также далее) .

Этот день явился подлинным рождением Христовой Церкви
Сошествие Духа Святого в день Пятидесятницы, явление огненных языков в дыхании бурном есть, как говорит святитель Феофан Затворник, первый вдох человечества жизнью Божественной. Потому что человечество было уже мертво. Оно было подобно тому полю, о котором говорит пророк Иезекииль, усыпанному костями человеческими, которые дыханием Духа Святого соединяются в тело живое, и сообщается этому телу новая жизнь (Иез. 37, 1–14). И все человечество теперь дышит этим дыханием через Церковь. Церковь имеет дыхание Божественной жизни через таинства, через священнодействия. И пост, и молитва, и праздники наши, и все, что в Церкви совершается, – это те кровеносные сосуды, через которые в тело Церкви поступает дыхание вечной жизни. И все человечество живо только этим – только постольку, поскольку оно причастно этой жизни; постольку, поскольку существует Церковь.
Дух Святой преобразует учеников Христовых. До принятия Духа Святого, «страха ради иудейска» , они заперлись в своем доме и не осмеливались выйти наружу.
Апостолы впервые отбросили все опасения перед иудейскими старейшинами и первосвященниками и вышли на открытую и бескомпромиссную проповедь распятого и воскресшего Спасителя мира. И богатые плоды не замедлили себя ждать: около трех тысяч человек в первый же день промыслительно приняли крещение во имя Иисуса Христа (см. : Деян. 2: 41).
С этого дня Церковь, созданная не тщетой человеческих толкований и умствований, но Божией волей, непрерывно росла и утверждалась – прежде всего, благодатью Святого Духа. Вероучение о Христе приобрело прочнейшее основание, которое невозможно было поколебать уже ничем. Святая Церковь возносит общее славословие Пресвятой Троице и внушает верующим, чтобы они воспевали «Безначальнаго Отца, и Собезначальнаго Сына, и Соприсносущнаго и Пресвятаго Духа, Троицу Единосущную, Равносильную и Безначальную».

в глазах Бога далеко не святой.... праздник Троицы тому еще одно подтверждение....

В Ветхом завете был народ Божий по национальному признаку.
В Новом завете - народ Божий по наличию Святого Духа.