Почему, когда Бог показывал Моисею свою славу, Он произнес слово Господь два раза подряд?

Это скрытое описание Бога Троицы.

"5 И сошел Господь в облаке, и остановился там близ него, и провозгласил имя Иеговы.
6 И прошел Господь пред лицем его и возгласил: ..."

Здесь второе лицо Бога Троицы - Сын, на попечении которого человечество осталось после грехопадения, сходит к Моисею и говорит (возглашает) :

"Господь, Господь, Бог человеколюбивый и милосердый, долготерпеливый и многомилостивый и истинный, " (Исх. 34:5,6)

1 -й Господь это Отец, 2-й Господь это Дух Святой. А совершенные качества относятся именно к слову Бог, который объединяет 1-го, 2-го Господа и включает самого говорящего Господа.
Т. е. не каждый в отдельности из них совершен, совершенство заключено в их Единой Троичности.

Подтверждение этому смыслу видим в словах Иисуса (воплотившегося Сына) :
Он же сказал ему: что ты называешь Меня благим? Никто не благ, как только один Бог... (Матф. 19:17)

Иисус говорил: "Я и Отец - одно"(Иоан. 10:30) и обычно все время ссылается на Отца, а тут в отношении благости использует слово Бог. Т. е. ни Отец, ни Сын, ни оба они вместе не благи. Благ только один Бог (один и един по еврейски пишутся одинаково) . И из Евангельских событий мы видим, что есть еще третий Господь - Дух Святой.

Такое упоминание Троицы не раз встречается в Ветхом Завете, например:
И сотворил Бог человека по образу Своему, по образу Божию сотворил его; мужчину и женщину сотворил их. (Быт. 1:27)
И сказал Господь сатане: Господь да запретит тебе, сатана, да запретит тебе Господь, избравший Иерусалим!... (Зах. 3:2)

Он произнёс своё имя, а не 2 раза Господь. Как и в Пс109:1 - "Сказал Господь Господу моему: сиди одесную меня".-.сам себе предложил сидеть рядом с собой?

Это очень сложный фрагмент.
Его сложно на иврите разобрать, не то, что по-русски.
Если очень надо, напиши в нетмейл, дома есть Тора, попытаюсь помочь.