Почему христиане Хаву, первую женщину назвали Евой?

Это перевели не правильно. Работа у них такая, неправильно переводить.

Потому что имя как минимум попало в несемитскую языковую среду - и у греков к тому времени буква H вначале слова не произносилась - "в греческой транслитерации: ΕΥΑ, что, скорее всего, произносилось *he-w-a (перед гласным "э" густое придыхание, а буква υ в дифтонге ευ читается подобно английскому "w").

Поэтому h(ева) это и есть Хава. Кроме того древнееврейское произноение тоже было несколько другим хawwͻ:h ("В иврите времён Масоретов имя жены Адама звучало Ḥawwā (הָ וַּח)", см. источник) , чем нынешнее еврейское Хава.

А теперь по-науке (касательно проблемы появления буквы "е" - с H мы уже разобрались) :

"Во многих семитских языках на том или ином этапе фиксируется стяжение дифтонга
ay в долгий гласный ē. Например, в Х-V вв до н. э. слово "дом" в иудейском диалекте
и в классическом арамейском языке записывалось תיב и произносилось *bayt, тогда
как в Израильском царстве, а также у финикийцев и моавитян, это же слово звучало
*bêt и записывалось תב. Аналогичным образом произношение *ḥēwā сформировалось
в северных еврейских диалектах из более ранней обще-еврейской формы *ḥaywā. В
иудейском же, южном, диалекте дифтонг ay не изменился, но согласный y перед w
ассимилировался с удвоением последнего, произведя вариант *ḥawwā. Так
образовались два варианта произношения имени Ева, которые записывались в 1
тысячелетии до н. э. одинаково, но читались по-разному".

Почему муслимы назвали первого еврея Авраама - Ибрагимом?

Адам, салам алейкум !

Почему Иосиф, Джозеф, Жозе, Хосе, Юзеф, Юсуп ...одно и то же имя? При одинаковом написании звучит по разному. Особенности транскрипции. Уже ответили.

Докажите что ее звали Хавой

Погрешности транскрипции....

"Ева" - не имя собственное, это слово просто означает "дающая жизнь". И "Хава" - это лишь современное произношение этого слова. Если она и была, то "Хавой" себя точно не называла. Даже древние евреи произносили это слово иначе. И "дающей жизнь", "прародительницей" она стала только после изгнания из рая, В общем, глупый вопрос задаёте. С тем же успехом можно спросить и про слово "Аллах".