Как учение о Троице стало официальной религиозной доктриной? И, что более важно, основывается ли оно на Библии?

Теологическая теория  о  Троице, - не библейское  учение,   была 
отклонением  от  первоначального  христианского  учения - (Американская энциклопедия)

Историк  Уилл  Дьюрант пишет:   Христианству  не удалось уничтожить  язычество;  оно  переняло  его.   Из  Египта  пришли представления  о  троичности  божества.   Учение  о  Троице  формировалось  постепенно,  и  было  внедрено  в  христианство  усилиями Отцов,   находившихся под  влиянием философии  Платона.   Христианство 
и  неоплатонические  философии,  стали  неразрывны.

Адольф  Харнак  говорит:  Церковное  учение,   прочно укоренилось  в  почве эллинизма  (языческого  греческого мировоззрения)

Так  оно  стало  «Тайной»   для подавляющего  большинства  христиан.

Эндрю  Нортон говорит:   Троица  - это  не  учение Христа  и  его Апостолов,   а  вымысел школы,   более  поздних последователей  учения  Платона Троица - центральный догмат - недоказанное  не библейское учение, взято из язычества. Язычество погрязло в идолопоклонстве. Если человек поклоняется какому то предмету или
человеку, то его форма поклонения, неугодна Богу. На протяжении Ветхого и Нового Заветов, Бог являлся людям под различными именами, не буду их перечислять все.  Но никогда и никому, Он не явился с именем Троица.   Один Бог в трех лицах Отец, Сын и Дух Святой. Не три Бога, а один Бог.  

«Мы рассматриваем жизнь как Единую Форму Существования, проявляющуюся в том, что именуется материей; или в том, что, неправильно разделяя, мы называем в человеке Дух, Душа и Материя. Материя является проводником для проявления Души на этом плане существования. Душа же есть проводник на высшем плане для проявления Духа, и эти трое есть Троица, синтезированная Жизнью, насыщающей их всех» . (Е. П. Блаватская, Тайная Доктрина)

Основывается на Библии.

Учение о троице основывается не на Библии, а на Вавилонских триадах.
.
А из Библии, многие путают обычное тройное перечисление с доказательствами троицы.
.
И из того что Отец, Сын, и действующая сила Бога перечисляются в одном предложении, выводят целые учения о трединстве.
Однако если не знать заранее про это учение, и не искать зацепки, то никому бы и в голову не пришло что там имеется в виду одно тройное существо.

Тринитарное богословие присуще уже апостолам и безусловно основывается на Библии.

В Библии такого слова -Троица, нет вообще. 300 лет такого учения не было в христианском собрании. окончательно оформилось : применительно к учению о Божестве Сына тринитарная схема была прямо применена и к учению о Св. Духе, нашедшему своё символическое выражение в вероопределении второго вселенского собора 381 г. Только второй вселенский собор официально признал существование Третьей Ипостаси Бога (восьмой член символа веры) . (Википедия)

Самого слова Троица в Библии нет. Но учение само есть. Бог говорит о себе во множественном числе, Христос говорит "Итак идите, научите все народы, крестя их воимя Отца и Сына и Святаго Духа" (Мф 28:19). А так же "Благодать Господа нашего Иисуса Христа, илюбовь Бога Отца, и общение Святаго Духа со всеми вами" (2Кор
13:13).

Так Иисус Сын Божий сказал " во имя Отца и Сына и Святого Духа ".Матф 28:19.
Кто не согласен спорьте с Богом, с Библией.

Становилось оно постепенно, богословская мысль обрела законченные формы к началу 4-го века. Сам же термин Троица появляется уже во втором веке.
С самого начала христианам было известно о божественном единстве Отца, Сына и Духа Святого. по мере возникновения и развития различных ересей требовалось более краткое и чёткое формулирование основ веры, чтобы меньше было поводов еретикам для придирок и вольных трактовок.

Действительно, наиболее важно, соответствует ли это учение Библии. Однако, в этом вопросе, почему-то, начинают приводить доводы из различных энциклопедий, но при этом, когда ссылаешься на отцов Церкви, говорят: "они люди, а значит ошибаются". Двойная политика получается: если соответствует моему пониманию, значит люди, составляющие энциклопедии не ошибаются, а люди, с которыми я не согласен, пусть даже они жили в первых веках, веровали и страдали за Христа, те ошибаются.

На Библии учение о Святой Троице основано.
Крестить "во имя: Отца и Сына и Духа Святого" (Мф. 28:19) заповедовал Господь.
Во время крещения Христа была явлена Троица: Дух Святой в виде голубя, голос Отца и Сын, принявший плоть, стоящий пред людьми
Апостолы часто упоминали всех троих:
"Пётр, Апостол Иисуса Христа, (…), по предведению Бога Отца, при освящении от Духа, к послушанию и окроплению Кровию Иисуса Христа: благодать вам и мир да умножится" 1Пет. 1:2
"А вы, возлюбленные, назидая себя на святейшей вере вашей, молясь Духом Святым, сохраняйте себя в любви Божией, ожидая милости от Господа нашего Иисуса Христа, для вечной жизни" Иуд. 20,21
"Благодать Господа нашего Иисуса Христа, и любовь Бога Отца, и общение Святого Духа со всеми вами. Аминь" 2Кор. 13:13

Начнем с того, что
учение о троице появилось гораздо раньше, нежели в 3-4 веке. Только слова
"троица" не существовало. Но об Отце, Сыне и Святом Духе говорили как
Христос, так и апостолы. Вот три текста (помните, что согласно библейскому
учению необходимо иметь два или три свидетеля – (Втор
19:15; Мф 18:16; 2Кор 13:1)
Слова Иисуса Христа: "Итак идите, научите все народы, крестя их во
имя Отца и Сына и Святаго Духа" (Мф 28:19).
Слова апостола Петра: "по предведению Бога Отца, при освящении от
Духа, к послушанию и окроплению Кровию Иисуса Христа: благодать вам и мир да
умножится" (1Пет 1:2).
Слова апостола Павла: "Дары различны, но Дух один и тот же; и
служения различны, а Господь один и тот же; и действия различны, а Бог один и
тот же, производящий все во всех" (1Кор
12:4-6). "Благодать Господа нашего Иисуса Христа, и
любовь Бога Отца, и общение Святаго Духа со всеми вами" (2Кор
13:13).

При желании на Библии можно основать что угодно. Любая секта ссылается на Библию

Ну и к какому жа Боху обращался Исуска?

Матфея 27:46
Божа мой, Божа мой! для чего Ты меня оставил?