Попадают ли сумасшедшие в рай? А когда они туда попадают они остаются сумасшедшими?

Сумасшествие это карма животных.
Поэтому после смерти сумасшедшие попадают либо в мир животных, либо в мир Ада или нисших духов (Претов). Всё зависит от степени и формы накопленной кармы.
Как Вы сами понимаете сумасшествие это нарушение заповедей в яркой форме.
Нарушение заповедей приводит к деградации и нисходящей трансмиграции.
Вот так!

Пропуском в рай служит не ум, а душа, и сумасшедшие бывают и добрые и злые

Сумасшествие - повреждение мозга.
После смерти мозг вместе со всем физическим телом идёт в могилу или сгорает.
В рай попадает душа. Это нечто иное.

кому больше дано с того больше спросится

Сумасшедшие - это нормальная душа, получившая дефектное тело с дефектами мозга!
Душа хорошо понимает, что в таком теле она выглядит, как сумасшедший человек, но она ничего поделать не может!
Поэтому ее жизнь - страдания, которые, как правило, быстрее приводят к развитию положительных душевных качеств.
То же и с младенцами. Их душа взрослая, но их мозг и тело еще не готовы проявить взрослость души.

Напишите иначе слово :"С ума сошедшие". Иными словами "лишенные ума". Это состояние всех тех, покинувших землю, о ком говорят, что его настигла вторая смерть. НЕ смерть мозга с его придатками. Но - Смерть "ума" - следующего тела усопшего.
Да, иначе на "второе небо" и не попадают. Да, это - и не место вовсе. Если цитируете Евангелие, то пытайтесь понять, о чем там ...))

Сумасшедствие это наказание за вранье о Боге в прошлых жизнях

как и все умирают и разлагаются. Это не имеет отношения к мифам о рае или аде.

Сумасшествие - это одержимость омрачения ми ума (клешами), главное из которых - неведение (авидья).
http://vbuddisme.ru/wiki/Клеша

Омраченное сознание вряд ли переродится в раю.
Перерождение сознания зависит во многом от того, под властью каких омрачений совершалась негативная карма.
Под властью ненависти - в аду. Под властью страстей - духом. Под властью неведения - животным.

«В Судный день четверо будут оправдываться! Глухой, который не слышал ничего; умалишенный; дряхлый старик; и тот, кто умер из числа тех, до кого не дошел призыв. Глухой скажет: “О Господь, пришел Ислам, но я ничего не слышал! ” Умалишенный скажет: “О Господь, когда пришел Ислам, дети бросали в меня навозом! ” Дряхлый старик будет говорить: “Пришел Ислам, но я ничего не понял! ” А тот, до кого не дошел призыв скажет: “О Господь, до меня Твой посланник не доходил! ” После этого с этих людей будет взят договор и будет послан к ним посланник, который велит им войти в Ад. И клянусь Тем, в Чьей руке моя душа, если они войдут в Ад, то он станет для них прохладой и спасением, а тот, кто не войдет, будет ввергнут в него!» После того, как Абу Хурайра передал эти слова пророка (мир ему и благословение Аллаха), он сказал: “Читайте, если хотите:

مَنِ اهْتَدَى فَإِنَّمَا يَهْتَدِي لِنَفْسِهِ وَمَنْ ضَلَّ فَإِنَّمَا يَضِلُّ عَلَيْهَا وَلا تَزِرُ وَازِرَةٌ وِزْرَ أُخْرَى وَمَا كُنَّا مُعَذِّبِينَ حَتَّى نَبْعَثَ رَسُولا

«Мы не наказываем никого, пока не посылаем посланников!» (аль-Исра 17: 15)”.

Сказки.
Библия учит, умершие не имеют ума, потому что все они покоятся в могиле, т. е в аду.
А в небесном Раю все места уже заняты.