Жил ли Апостол Лука в Святой Земле и был ли он учеником Христа?

Если Вы называете его Апостолом.. , то был ли он учеником?
Лука не Апостол в том смысле, в котором были поставлены 12, а затем один избран вместо Иуды.
Общался ли лично с Господом? Думаю нет, т. к. пишет: "Как уже многие начали составлять повествования о совершенно известных между нами событиях, как передали нам то бывшие с самого начала очевидцами и служителями Слова, то рассудилось и мне, по тщательном исследовании всего сначала, по порядку описать тебе... "
Т. е. Лука тщательно исследовал. Иначе бы написал примерно так: "О том, что было от начала, что мы слышали, что _видели своими очами_, что _рассматривали_ и что _осязали руки наши_, о Слове жизни, - ибо жизнь явилась, и мы _видели и свидетельствуем_, и возвещаем вам сию вечную жизнь, которая была у Отца и явилась нам, - о том, что мы _видели_ и слышали, возвещаем вам, чтобы и вы имели общение с нами: а наше общение - с Отцем и Сыном Его, Иисусом Христом. "

И иконы он писал.

Конечно, жил. Но он не из числа Двенадцати, а был обращён кем-то из них.

Лука упоминается в Библии трижды (я уже искал). В 65 году он один оставался с Павлом, когда тот в тюрьме ожидал приговора. А до того Лука много времени путешествовал с Павлом. Павел называл его возлюбденным (врачом и сотрудником). Очевидно, что они были миссионерами.
Лука был последователем Христа. Он писал не то, что видел личто, но то, что слышал со слов очевидцев и после тщательно проверил (так он сам пишет в своем Евангелии).

Почитайте его Евангелие, да и Деяния. Там всё есть.

Лука при жизни не видел Иисуса, собирал сведения о Нем после Его смерти и Воскрешения. Он в начале Евангелия сам говорит об этом.
Был врачом при царском дворце. О прошлой жизни ничего не известно.
Был спутником ап. Павла.
Удачи вам.