Русские, кто живет за границей, как своих детей называете, рожденных там? Петя или Джеймс? Катя или Кейт?

Кто как.. . И потом, в Америке официальное полное имя у человека обычно двойное. В старое время, по английской традиции, бывало, давали и тройные имена (в Англии, кстати, это до сих пор практикуется: полное имя нынешнего британского премьера, например -- Дэвид Уильям Дональд Камерон) . Предпоследнего президента США зовут Джордж Уокер Буш, а его папу -- Джордж Херберт Уокер Буш. Так что никто Вам не запрещает записать ребенка под двойным именем типа "Пётр Джеймс". У русских, впрочем, это не очень часто бывает, а вот у армян (особенно у тех, которые в Америку приехали из Ливана или Ирана) -- сплошь и рядом: Геворк Джеймс, Амаяк Ричард и всякое такое...

Местными именами назвали. Им здесь жить. В Россию не ездим.

Для примера - статистика детских имён нашего местного русского сообщества:
Даниил, Вера, Лилия, Николь, Майкл, Вероника, Виктория, Александр, Алиса, Валентина, Евгения, Элеонора, Влад, и 3 Софии.

дети как были с теми же именами и живут. а внуков назвали так, чтобы на обоих языках было легко произносить Давид и Диана

у меня Эвелина и Элис а живем во франции

кто как захочет

da kto kak xo4et i naziwaet,,,,dazhe IWANI est...

Вроде бы Петя - это Питер

Валерия и Марк. И по-русски, и по-венгерски вполне удобопроизносимо

Моя сестра с мужем живет в Штатах. Детей они назвали международными именами, что бы и там они были местными, не экзотическими, и в России не выглядели странно.
Мальчик: Кристиан, Крис
Девочка: Александра, Алекса

У меня сугубо местные имена, и имеющие родственные и национальные корни. Давид и Лиэль