Скажите, куда можно отправиться из Москвы, отдыхать?

Во все части света.

Вопрос почти праздный: каков срок, каков бюджет?
Я в своё время объездил всю Московскую область, выезжая в каждый очередной город на один выходной день, без ночёвки. Вы в Коломне бывали? В Серпухове? В Кашире? В Дмитрове? В Истре, она же Новый Иерусалим? В Звенигороде. наконец? В Верее? В Боровске? Всё это - крайне интересные подмосковные города, часть нашей истории. Про Загорск (ныне Сергиев Посад) и Владимир не говорю - это слишком знаменитые центры притяжения туристов. В Суздаль за один день съездить трудно, но мне удалось: до рассвета первой электричкой из Москвы до Владимира, оттуда автобусом... Близ Владимира есть населённый пункт Боголюбово и рядом с ним - всемирно известная Церковь Покрова на Нерли...
В высшей степени интересен город Смоленск со своей единственной в своём роде крепостной стеной, опоясывающей весь город (теперь, конечно, его центральную историческую часть). Автор - зодчий Фёдор Конь, строивший в Москве стену Белого Города (снесена при Екатерине) и Новодевичьего монастыря (сохранилась). Он порядочно дальше от Москвы, но туда вполне можно съездить на один день (обойдясь без гостиницы) ночным поездом: ехать как раз ночь. Такое же расстояние (ночь поездом) - до Питера, Петрозаводска, Нижнего, Костромы...
Если же речь о выезде с ночёвками - то "весь мир на ладони"! В Калининградской области гораздо интереснее, чем сам Кёнигсберг, город Советск, в прошлом Тильзит: он превосходно сохранился - наши его заняли, застав немцев врасплох, почти без боёв. Если лететь в Калининград самолётом - то не надо ни загранпаспорта, ни виз, просто внутренний паспорт, как в любую другую точку своей страны.

Алтай, Байкал, Камчатка, Карелия, Поволжские города, Кавказкие Минводы и т. д

в Подмосковье...

Возьми глобус и выбирай, вариантов масса, любой каприз за ваши деньги....

Я думаю нет смысла далеко ехать. Я с семьей летом 2016 года отдыхал в Подмосковье ay-tour.ru. Знаете, если честно, то я и не думал что можно так хорошо отдохнуть не уезжая куда-то на курорты. И природа и тишина. И детишкам есть где играть. Та и по ценам довольно скромно

Езжайте в Истру. Да это конечно не заграница, но очень интересное место с исторической точки зрения, красивые храмы природа, я был и даже понравилось, по старым местам походил, насмотрелся всего, пофоткал много интересного. С жильем правда проблема была, сначала квартиру хотел снять, приехал посмотрел, и мягко говоря условия неочень, потом другая квартира также. Подумал подумал и потом сама собой гостиница приличная нашлась. http://xn--80aebkmac0bh0aeggh9c.xn--p1ai/ вот сайт ее, по цене нормально, расположена хорошо, обслуживание и номера хорошие. Рекомдую вообщем.