Можно ли стать монахом церкви в Евросоюзе, ну, скажем, в Греции или Италии, и с помощью этого получить гражданство ЕС?

Это зависит от страны (в ЕС иммиграционное право не только не гармонизировано, но нет даже планов такой гармонизации). А также от того, в какой мере Вас поддерживает Ваше руководство.

Для примера -- Британия (это уже не совсем ЕС, но в качестве иллюстрации того, как устроены правила, сойдет).

Есть две категории виз для служителей культа -- Tier 2 minister of religion и Tier 5 religious worker.

Если Вы находитесь в Британии не менее пяти лет в статусе Tier 2 minister of religion, то Вы имеете право оформить разрешение на постоянное жительство (в Британии оно называется ILR -- Indefinite Leave to Remain). После этого Ваши отношения с религией уже никого не волнуют -- Вы постоянный житель, и через год постоянного жительства Вы можете подавать заявление на получение гражданства.

Если Вы находитесь в Британии в статусе Tier 5 religious worker, то ILR Вам никаким местом не светит. Ваш монашеский орден должен каждые два года продлевать Вашу визу (есть ли для этого какие-то пределы, я сейчас не помню). Если Вы покидаете орден, то Вы должны покинуть страну или сменить статус.

Ну и чисто религиозный момент... При приеме в монашество Вы даете обет послушания. Соответственно, руководство Ващего монашеского ордена может отправить Вас туда, куда считает нужным. Например, миссионером в Вашу родную страну...

Вы другой веры.

нет.
для этого нужно легально проживать в стране, т. е. иметь разрешение на проживание.
и монашество не является основанием для получения гражданства

вас не примут в монахи в стране ЕС даже в русский монастырь с вашим гражданством РФ.

на каком основании вы будете получать гражданство? Монашество не основание.

проще через гейство

ну выйди замуж и получи свой вид на жительство-заплати мне 1 000 000 евро получишь свой постоянный вид на жительство через 5 лет

о боже....

Чтобы стать монахом, надо побыть для начала послушником. Это для сведения. А чтобы стать послушником, надо уже проживать в стране.

Уроки сначала сделай. Ты можешь стать "монахом", только если ты служишь в православной церкви (например) у себя на родине и тут нужен "монах" в Швейцарию срочно, чтобы проповедовал и тебя могут направить. Там же бизнес, кучу отделений и проповедников мало, а они должны нести правду во все уголки света