Докажите, что слова каждой группы относятся к одной части речи:

Грамматические категории, объединяющие слова каждой группы в одну часть речи:

а) лошадь, погода, такси – существительные, так как:
● на вопросы КТО? и ЧТО? отвечают;
● обозначают ПРЕДМЕТ;
● являются нарицательными;
● имеют категорию одушевлённости (лошадь) и неодушевлённости (погода, такси);
● имеют род как постоянный морфологический признак (женский, женский, средний);
● относятся к 3-му и 1-му склонению, последнее слово несклоняемое, но его падеж и число определяются в контексте.

б) рисовала, съешьте, печь – глаголы, так как:
● на вопросы ЧТО ДЕЛАЛА? ЧТО СДЕЛАЙ? ЧТО ДЕЛАТЬ? отвечают;
● обозначают ДЕЙСТВИЕ ПРЕДМЕТА;
● имеют вид – несовершенный, совершенный, несовершенный;
● являются переходными, невозвратными;
● спрягаются (1-е и 3-е 1-го спряжения, 2-е – особого) и изменяются по наклонениям (1-е в изъявительном наклонении, 2-е – в повелительном, 3-е – в начальной форме), числам (1-е в единственном числе, 2-е – во множественном), временам в изъявительном наклонении, родам в единственном числе прошедшего времени и в единственном числе условного наклонения.

Правда, есть омонимичное существительное ПЕЧЬ (что? предмет, женский род), поэтому задание не совсем корректное без пояснения последнего слова, например, такого: печь (пироги).

в) натощак, затемно, исподтишка – наречия, так как:
● на вопросы КАК? КОГДА? отвечают;
● обозначают ПРИЗНАК ДЕЙСТВИЯ;
● не изменяются.

г) чист, бестолковый, теплейший – прилагательные, качественные, так как:
● на вопросы КАКОВ? КАКОЙ? отвечают;
● обозначают ПРИЗНАК ПРЕДМЕТА;
● имеют полные и краткие формы, а также степени сравнения;
● 2-е и 3-е даны в склоняемых формах, 1-е – в краткой форме, несклоняемой, но, как и остальные, изменяется по числам, а в единственном числе по родам.

д) семьдесят, девятеро, пятый – числительные, так как:
● на вопросы СКОЛЬКО? КОТОРЫЙ? отвечают;
● обозначают отвлечённое число, количество предметов и порядок предметов при счёте;
● первые два изменяются по падежам, последнее – по числам, падежам, а в единственном числе и по родам.

А) лошадь, погода, такси =СУЩЕСТВИТЕЛЬНОЕ ОБОЗНАЧАЕТ ПРЕДМЕТ
б) рисовала, съешьте, печь; ГЛАГОЛ ОБОЗНАЧАЕТ ДЕЙСТВИЕ
в) натощак, затемно, исподтишка; НАРЕЧИЕ ОБОЗНАЧАЕТ ПРИЗНАК ДЕЙСТВИЯ
г) чист, бестолковый, теплейший; ПРИЛАГАТЕЛЬНОЕ ОБОЗНАЧАЕТ ПРИЗНАК ПРЕДМЕТА
д) семьдесят, девятеро, пятый =ЧИСЛИТЕЛЬНОЕ ОБОЗНАЧАЕТ КОЛИЧЕСТВО ИЛИ ПОРЯДКОВЫЙ НОМЕР