Задача про петю и карточки

1999 9991

Пусть на четырех карточках, которые есть у Пети, записаны цифры a, b, c и d, где a ≥ b ≥ c ≥ d. Тогда первое число, которое он составил, будет равно 1000a + 100b + 10c + d, а второе число – 1000d + 100c + 10b + a.

Согласно условию, сумма двух чисел равна 11 990, то есть:

1000a + 100b + 10c + d + 1000d + 100c + 10b + a = 11 990

Упрощая эту формулу, получим:

1001a + 101b + 101c + 1001d = 11 990

Разделим обе части уравнения на 101:

9a + b + c + 9d = 119

Заметим, что так как a ≥ b ≥ c ≥ d, то 9a ≥ 9b ≥ 9c ≥ 9d, и поэтому 9a + b + c + 9d ≤ 9a + 9b + 9c + 9d = 9 × (a + b + c + d). Но с другой стороны, 9a + b + c + 9d ≥ 9d, так как остальные слагаемые положительны. Поэтому:

9d ≤ 9a + b + c + 9d ≤ 9 × (a + b + c + d)

d ≤ a + b + c + d ≤ a + b + c + d

Отсюда следует, что a + b + c + d = 14 или 15.

Если a + b + c + d = 14, то варианты возможных цифр для a и d: 5 и 4, 6 и 3, 7 и 2, 8 и 1, или 9 и 0. Последний вариант не подходит, так как все цифры должны быть отличны от нуля. Остальные варианты дадут значения для суммы от 13 до 12, что также не подходит. Следовательно, a + b + c + d = 15.

Единственной возможной комбинацией цифр является 9, 3, 2 и 1. Таким образом, первое число, которое составил Петя, равно 9321, а второе число – 1239.

Итак, Петя составил числа 9321 и 1239, причем сумма этих чисел равна 11 990.