Существует ли признак делимости на 27? Если да, то какой он?

Нет. Сначала надо проверить делимость на 9. Описание признака здесь:
xxs[точка] ru/0jgc
Если делится, то разделить, а результат проверить по признаку делимости на 3 (по той же ссылке).

Дополню до полного решения предыдущий ответ)) )
(10 в степени n)+18n-1 - докажем, что это кратно 27 при целом кратно 27.Как верно замечено:
10^0 - 1
10^1 - 10
10^2 - 19
10^3 - 1
10^4 - 10
10^5 - 19 и т. д.
Заметим, что этот период цикличен (т. к. 10^3=10^0(mod 27) - а при умножении на 10 (впрочем, как и на любую константу) некоторого числа получается ТОЛЬКО ОДИН результат, то 10^3*10=10^0*10 (mod 27) => 10^4=10^1 (mod 27) - аналогично доказываем, что 10^k=10^(k-3).

Далее по индукции

База - при n=1 - очевидно

Предположение для n=b - верно

Докажем для n=b+1

Вычтем выражение для n=b из выражения для n=b+1 (если разность будет кратна 27, то и выражение для n=b+1 будет кратно 27, т. к. при n=b оно кратно)
[10^(b+1)+18(b+1)-1]-[10^b+18b-1]=10^(b+1)-10^b+18

Рассмотрим случаи, когда 10^b=1, 10, 19 (см. 1ую часть решения)

При 10^b=1(mod 27) 10^(b+1)=10 (mod 27)
Тогда 10^(b+1)-10^b+18=27=0 (mod 27)

При 10^b=10(mod 27) 10^(b+1)=19 (mod 27)
Тогда 10^(b+1)-10^b+18=27=0 (mod 27)

При 10^b=19(mod 27) 10^(b+1)=11 (mod 27)
Тогда 10^(b+1)-10^b+18=0 (mod 27)

В любом случае прибавляется число, кратное 27, значит нулевой остаток не меняется. Индукция доказана

PS - а точного признака деления на 27 я не знаю

число делится на 27 тогда, когда при вычитании последней цифры умноженная на 8 из этого числа без последней цифры делится на 27 .
1944
194-(4*8)
194-32=162
16-(2*8)=0.

729
72-(9*8)=0.

189
189-(9*80=-54

1944:27=72.
729:27=27
189:27=7