в каких склонениях есть хотя бы олно существительное, у которого именительный падеж единственного числа односложен?

Такие существительные есть во всех склонениях. Вот доказательства:
► 1-е склонение, существительные женского рода с окончаниями -А, -Я: ТЛЯ, ХНА, МГЛА;
► 1-е склонение, существительные общего рода с окончанием -Я: ФРЯ (Ожегов даёт его как существительное общего рода);
► 2-е склонение, существительные мужского рода с нулевыми окончаниями: стол, шкаф, бег, герб, флаг, стяг, кол, лот, лад, лог, луг, лук, дог, рог, гол, ров, рот, торт, бант, бинт, бокс, скот, ток, кот, сайт, бром, блог, блок, пень, конь, лист, свист, сев, вес, лев, лов, вал, вар, корт, спорт, сок, центр, кран, бок, бык, бук, бак, плач, плащ, брат, дед, дом, том, тесть, тест, тост, тюль, толь, трюк, трюм, кок, клок, клык, клуб, гость и многие другие;
► 2-е склонение, существительные среднего рода с окончанием -О: зло, дно;
► 3-е склонение, существительные женского рода с нулевыми окончаниями: дочь, мать, тень, сень, даль, степь, мышь, кровь, печь, течь, цепь, цель, треть, трель, рать, гать, рожь, брошь, мощь, дрожь, моль, мель, сеть, медь, соль, роль, трость, страсть, пасть, власть, кость, грусть и другие.
► разносклоняемое существительное ПУТЬ.

мак
враг
сук
друг

односложных слов навалом

Точно во втором и третьем - дуб во 2 (например, но много, конечно, вот выше примеры были, да еще дофига) , в третьем - мышь, ложь, мать и т. д.
А в первом.. . Вроде нет.. . Но, мож, какое хитрое слово и затерялось.. . Так сходу - вроде нет...