математика: нужно объяснение. Будет ли сумма чисел 1+2+3+...+2012+2013 делится на 2013?

очевидно.. .
что будет делиться.. .

да никакой теоремы делимости нет.. .
есть формула суммы конечного ряда.. .
вот ею и воспользуйся...

А что, не видно (1 + 2012) + (2 + 2011) + .+(1006 + 1007) + 2013.

Очевидно, что число слагаемых от 1 до 2012 будет чётным.
Их можно сгруппировать по парам: (1+2012)+(2+2011)+(3+2010) и т. д
Сумма чисел в каждой скобке равна 2013.
Естественно сумма этих скобок будет делиться на 2013.
Будет делиться она и после того, как к ней добавить 2013.

А мне кажется, что разбивка должна быть другая - 2013, 1+2012, 2+2011, и т. д. , последняя пара - 1006+1007, так что будет кратно 2013

сообрази сколько будет пар сумм чисел: 1+2012, 2+2011, 3+2010 и т. д. + 2013
дальше. во всех этих парах сумма 2013. далее умножь на кол-во пар, и раздели. воть
но уже и так понятно, что поделится, т. к. суммы пар делятся + последнее 2013 тож)

Формула суммы арифметической прогрессии содержит сомножителем число её членов. В данном случае сомножитель - именно 2013. Значит, сумма предложенного Вами ряда чисел - делится без остатка на 2013. Аналогично, если прогрессию начинать с 1 при разности тоже 1, то для любого года сумма арифметической прогрессии делится без остатка на номер последнего года.