Основанием пирамиды является ромб. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания...

Я не специалист в школьных делах, поэтому могу предложить такое:

Возьмем точку Е такую, что ВД - проекция ВЕ на плоскость АВСД, значит, ДЕ - перпендикуляр к АВСД,
проведем через ДЕ и АД плоскость
и через ДЕ и СД плоскость. Они обе будут перпендикулярны АВСД,
так как проведены через прямую, перпендикулярную АВСД.

с углом в 30° проще - он образуется при построении к линии пересечения плоскостей
в одной и той же точке по одному перпендикуляру в каждой плоскости.
то есть ЕМ перпендикуляр к ВС и ДМ - тоже перпендикуляр.
угол ЕМД=30°. Угол ЕДМ=90°

ЕМ=ЕК=12·2=24 (так как катет ДЕ лежит в прямоугольном треугольнике ЕДМ
напротив угла в 30²);
ДМ=√(24²-12²)=12√3

АВД и ВСД - равносторонние треугольники, так как ВДС=ДВС=(180-60)/2=60, ДСВ=60°.

ДМ - высота равностороннего треугольника, поэтому сторону
основания и площадь вы найдете легко. ДС=ДМ/син 60°=12√3/(√3/2)=24 - сторона ромба
S АВСД=ДМ·ВС=12·√3·24=288√3

Боковые грани попарно равны.

Площадь треугольника равна половине произведения
основания на высоту:
АЕВ и ЕВС - высота ЕМ и основание - сторона ромба,
2S ВЕС=ЕМ·ВС=24²=576

в двух других гранях катеты: ДЕ и сторона ромба.
2SЕДС=ЕД·ДС=12·24=288

S поверхн = 288√3 + 576 + 288

Есть такая теорема в стереометрии: если две плоскости взаимоперпендикулярны и к одной из них проведён перпендикуляр к другой, то этот перпендикуляр весь лежит в этой первой плоскости. Следствие: линия пересечения двух плоскостей перпендикулярных к третьей, есть перпендикуляр к этой плоскости. То есть, ЕД - это высота пирамиды.
Сейчас уже поздно, хочу спать. Если останется необходимость, докажу теорему и следствие, кроме того, расскажу остальное по задаче. так что нужно, пиши. А пока, спокойной ночи... Удачи!

Начнем, 5 лет не решал подобные задачи
1)ED перпендикулярна AD т. к. АED перпен. АBCD и ED Перпендик СD т. к. EDC перпендик ABCD => что ED перпендикул плоскости ABCD => что ED высота = 12
2) Р. м. треугольник EDK: он прямоугольный угол EKD равен 30 из условия, тогда sin(EKD) = DE/EK
откуда EK = EM = DE/sin(EKD) = 12/0,5 = 24. DK = 12*sqrt(3) (ПО Пифагору хоть считай)
3) Р. м. треугольник ADB - он равносторонний, т. к. углы по 60 град (Диагональ ромба это биссектриса), а значит DK - это высота медиана и биссектриса. (т. е. AK = KB)
4)Р. М. треугольник AKD: угол KAD = 60 => что sin(60) = DK/AD, откуда AD = DK/(sin(60)) = (12sqrt(3))/(sqrt(3)/2) = 24 Таким образом каждая сторона основани ромба = 24
5)S(ABCD) = 24*12sqrt(3) = 288sqrt(3)
(ПО 3 сторонам) S(EAB) = S(EBC) = 0,5*24*24 = 288
(ПО 2 сторонам и углу между ними) S(ADE) = S(CDE) = 0,5*24*12 = 144
ИТОГО: S(ABCDE) 144*2 + 288*2 + 288sqrt(3) = 288(3+sqrt(3))