у каких чисел разность и частное равны? 4-2=4:2

Здравствуйте,

Числа 4 и 2.

Задание требует использования способа рационального подбора, следовательно, оценивается выбор интервала чисел, который выбран для проб, а также полнота описания результата проведенных проб.

Пробую числа 2 и 4. 4 : 2 = 2 и 4 - 2 = 2.

Т. к. 2 = 2, то числа 2 и 4 будут решением задания.

Чтобы найти все такие числа, нужно решить уравнение х - у = х/у.
Необязательно в целых числах, т. к. в вопросе про это речи не было.

Умножим равенство на у, получим ху - у^2 = x.

При этом учтём, что пара чисел (х0, 0) не есть решение, т. к. тогда исходное равенство не имеет смысла.

Преобразуем равенство так:

ху - х = у^2
х (у - 1) = у^2.

Если у = 1, то имеем 0*х = 1 - не имеющее решений уравнение. Значит, пара чисел (х0; 1) также не есть решение.

Разделим равенство на у -1:

х = y^2 / (y - 1)

Решение в общем виде можно записать так:

x = t^2 / (t - 1)
y = t,

где t - любое действительное число.

Для проверки составим разность и частное х и у.

х - у = t^2 / (t - 1) - t = t^2 / (t - 1) - t(t - 1) / (t - 1) = t^2 / (t - 1) - (t^2 - t) / (t - 1) = (t^2 - t^2 + t) / (t - 1) = t / (t - 1)

x/y = (t^2 / (t - 1)) / t = t / (t - 1)

Получили одно и то же. Значит, числа найдены верно.

Множество всех таких чисел можно изобразить на графике, построив график уравнения х = y^2 / (y - 1). Из графика исключена точка с координатами (0; 0).

Видим, что одно из частных решений - (4; 2). Ещё частные решения: (4,5; 3); (6,25; 5); (7,2; 6) и т. д.

Если требовались только целочисленные значения х и у, то их можно найти так. В выражении y^2 / (y - 1) выделим целую часть:

y^2 / (y - 1) = (y^2 - 1 + 1) / (y - 1) = (y^2 - 1) / (y - 1) + 1 / (y - 1) = (y - 1)(y + 1) / (y - 1) + 1 / (y - 1) = y + 1 + 1 / (y - 1).

При целых y выражение y + 1 - целое. Значит 1 / (y - 1) тоже должно быть целым. Это возможно, когда знаменатель дроби равен либо 1, либо - 1. В первом случае получаем y - 1 = 1, откуда y = 2 и x = 4. Во втором y - 1 = -1, откуда y = 0, но y = 0 не может быть частью решения. Значит, целое решение только одно: (4; 2)