Почему Невский Первый поехал к Батыю и признал свою зависимость от него.

Ему хотелось получить мощную поддержку, чтобы установить свою власть в Новгороде, поэтому пока большинство князей решали, как действовать против экспансии Сарая на Руси и на каких условиях объединяться с крестоносцами, Александр Невский прямо на центральной площади выкалывал глаза боярам, которые выступали против Орды. Во многом из-за этого Русь была данником татаро-монгольских ханств гораздо дольше других стран - аж на двести лет.
Кто-то может написать, что перед Русью стоял сложный выбор подчиниться крестоносцам или Орде, но пример Великого Княжества Литовского наглядно показал, что можно было успешно отражать и вылазки крестоносцев, и поход главных сил Бату, что они и делали. К слову, именно Литва и разгромила дважды основные силы крестоносцев - сначала фактически уничтожив Орден Меченосцев (которому, кстати, помогали дружины Пскова), затем и разбив Ливонский Орден, и, наконец, нанеся серьёзные поражения армиям Субедея и Бату.
Любопытно, что Александр Невский, будучи одной из самых гнусных фигур в истории Руси, начиная с эпохи Ивана Грозного стал обретать величественный и благородный образ "защитника русского народа", закрепившись в таком качестве в массовом сознании.

Не правда. Невский сейчас в Голливуде очередной фильм снимает.

тогда главное было сохранить русские земли и русскую генетику. Вот Невскому и пришлось маневрировать между Батыем и европейскими агрессорами

Батый подсадил невского на то что на руси не росло, отсюда и зависимость)