Как смогли высчитать числовые значения синусов и косинусов определённых улов?

Замена исходной функции на другую, точнее на сумму др. функций, вычисление которых возможно и просто, или значение которой уже посчитаны.
а идея такова, на примере ряда МакЛарена:
пусть есть некоторая функция f(x), нужно найти такое ее приближение полиномами, которое будет в каждой ее точке соответствовать искомой функции.
f(x) = a0 + a1·x + a2·x^2 + .+an·x^n + .
Таким образом, нахождение полиномов сводится к нахождению коэффициентов при x^n.
Чтоб их найти- выбирают некоторую точку, в которой и ищут, так для ряда Макларена такая точка выбирается х = 0:
и имеем:
f(0) = a0 + a1·0 + a2·0^2 + .+an·0^n + .= a0.
Есть первый!
дальше, используем простоту дифференцирования полиномов, делаем след шаг, находим производную нашей функции и соответствующего полинома:
f'(x) = a1 + 2a2·x + .+n·an·x^(n-1) + .
и для точки 0 имеем:
f'(0) = a1 + 2a2·0 + .+n·an·0^(n-1) + .= a1
Ну и продолжая так, находим закономерность (или же нужное число на полиномиальных членов - их нужно бесконечное число для точного значения, но если есть округление, то тут можно меньше взять)
Так для синуса, около нуля имеем:
sin x = x - x^3 / 3! + x^5 / 5! + x^7 / 7! ..+x^(2n-1) / (2n-1)! , n = 0, 1...∞
само собой - здесь вместо x ставится число в радианах, а не в градусах.
Более продвинутый - ряд Тейлора, там можно не только около 0 строить приближение, а около любой др. точки "a"
f(x) = f(a) + f'(a)·(x-a) + f''(a)·(x-a)^2/2! + f'''(a)·(x-a)^3/3! +

Перевод градусов в радианы и разложение в ряд Тейлора по формулам. Не забивай голову, охренеешь от такого.