А почему тангенс и котангенс икс это любые рациональные числа? ведь тангенс =синус/косинус, котангенс=косинус на синус

Возьмите тангенс для примера: tg(x) = sin(x)/cos(x).
При (0 < x < п/2) sin(x) > 0 монотонно растет, cos(x) > 0 и монотонно убывает.
Т. е. все больше 0, числитель растет, знаменатель убывает, значит отношение растет. до точки x=п/2 рост сохраняется. Посмотрим, до какого значения тангенс растет: устремим x к п/2. Тогда числитель sin(x) = sin(п/2) = 0, знаменатель cos(x) = cos(п/2) = 0. tg(п/2) = 1/0 = беск. Т. е. тангенс растет до + бесконечности.
При (- п/2 < x < 0) все аналогично, только sin(x) < 0.
Тогда видно, что (- беск. < tg(x) < + беск.)

Ты сам написал ответ на свой вопрос.
Только подумать не получилось.
Твоё копирую:

синус =от -1 до +1
косинус = от -1 до+1

тангенс =синус/косинус

Отсюда следует, что синус и косинус проходят через ноль, могут равняться нулю.
Вот и подставь в свою же дробь косинус, равный нулю....
Ну, почти равный, очень-очень маленький.
Сначала слева приближаясь к нулю, потом справа.
Если хорошо подумаешь - получишь известный график тангенса - с асимптотами и т. д.

Так получилось.
1. Визуально: посмотри на график функции.
2. Формально: изучи понятие предела и посчитай его, когда cos(x) стермиться к нулю. Если бесконечность, значит значение функции может принять все рациональные числа.