Может ли инвалид сам подать заявление на бессрочную инвалидность?

Нет не может. Более того, когда вы пишете заявление в БМСЭ о признании вас инвалидом, вы даже не можете определенную группу себе попросить. Группу инвалидности, а также срок, на который она устанавливается, принимает комиссия БМСЭ. Единственное, что вы можете - это попросить врачей сделать запись о том, что ребилитацинные меропиятия большого успеха не принесут, и врачи рекомендуют установить вам бессрочную инвалидность (если конечно на это у вас есть право) .
Что касается ответа Сергея Нуждина: не путайте, пожалуйста, никого. Да, инвалид вправе самостоятельно обратиться в БМСЭ с заявлением о признании его инвалидом. Но просить именно БЕССРОЧНУЮ группу инвалидности, он не имеет права. Читайте внимательнее то Постановление Правительства, на которое делаете ссылку. И не дергайте из него отдельные положения.

Да, может

ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПОСТАНОВЛЕНИЕ
от 20 февраля 2006 г. N 95

О ПОРЯДКЕ И УСЛОВИЯХ ПРИЗНАНИЯ ЛИЦА ИНВАЛИДОМ

Утверждены
Постановлением Правительства
Российской Федерации
от 20 февраля 2006 г. N 95

ПРАВИЛА
ПРИЗНАНИЯ ЛИЦА ИНВАЛИДОМ

Гражданам, обратившимся в бюро самостоятельно в соответствии с пунктом 19 настоящих Правил, группа инвалидности без указания срока переосвидетельствования (категория "ребенок-инвалид" до достижения гражданином возраста 18 лет) может быть установлена при первичном признании гражданина инвалидом (установлении категории "ребенок-инвалид") в случае отсутствия положительных результатов назначенных ему в соответствии с указанным пунктом реабилитационных мероприятий.

19. В случае если организация, оказывающая лечебно-профилактическую помощь, орган, осуществляющий пенсионное обеспечение, либо орган социальной защиты населения отказали гражданину в направлении на медико-социальную экспертизу, ему выдается справка, на основании которой гражданин (его законный представитель) имеет право обратиться в бюро самостоятельно.
Специалисты бюро проводят осмотр гражданина и по его результатам составляют программу дополнительного обследования гражданина и проведения реабилитационных мероприятий, после выполнения которой рассматривают вопрос о наличии у него ограничений жизнедеятельности.

Нет, конечно.

Может! Не слушай эту глупую Наташу - диванный эксперт, епрст.
Можно написать заявление самому, а можно в посыльном листе, когда врач будет собирать документы для комиссии, написать следующее: В связи с необратимой патологией моего здоровья, прошу установить вторую группу - бессрочно. Это на 99% работает, если болезнь реально неизлечима и вы не первый год проходите МСЭ. Уже на второй год устанавливается бессрочная группа, если болезнь неизлечима.