Полагается ли в наше время квартира от государства при рождении трех близнецов?

Может быть у них после рождения трех детей и вселения в жилое помещение- возникнет основание для признания нужд. в жилых помещениях.
И м. б. в вашем регионе есть жилищ. программы и для многодетных- (для молодых семей есть федерал. программа) - предоставление субсидии на приобретение жилого помещения. (например в Москве многодетным субсидию на приобретение предоставляют вне очереди, если у них есть основания конечно по учетной норме) .
Ваши соседи тогда могут эту субсидию, плюс маткапитал, плюс деньги от продажи имеющихся в собственности и купить себе жилое помещение.
Бывает помимо федерал. маткапитал еще и регионал. маткапитал.
Им надо в органы соцзащиты по месту жительства обращаться, чтобы узнать про все возм. им льготы, в инете поискать- на офиц. сайте администр. вашего города в том числе.
Квартиры предоставлять можно только в порядке очереди или вне очереди на законных основаниях. регулир. ЖК РФ и местными НПА.
Но могут и отдельным правовым актом уполном. органа исполнит. власти предоставить им квартиру, если они живут в одной комнатке, и попросят сами и депутаты попросят, и СМИ раструбят, и тройни у вас в городе не рождались 100 лет- и такой праздник-такой праздник! , и у должностных лиц, имеющих правомочия принять решение, приступ добросердечности, или у коммерсантов, тусующихся с должностными лицами (имеющих возможность предоставить квартиру) тоже приступ альтруизма, и все вместе пропиарятся на демографической победе и собственном демопатриотизме.
В общем сложно все, но бывает всякое.
Но реально нужно подходить к решению жилищ. проблемы- начать с изучения возможностей по НПА, и заявить о нуждаемости и участии в той или иной программе в уполном. орган.

Думаю, что холявы не будет.

Только если местная администрация захочет сделать широкий жест.

это в компетенции региональных властей
смотря что у них в таких случаях предусмотрено для молодых семей