Здравствуйте, может ли работник написать заявление на отпуск с открытой датой, а потом предоставить больничный

Может указать в заявлении, что уйдёт в отпуск после больничного

не бывает никаких заявлений "с открытой датой", такое заявление ни о чем, его сразу можно в мусорную корзину отправить. вообще, отпуск обязаны по утвержденному графику предоставлять, без всяких заявлений от работников. но, если в вашей организации принято писать заявление, то там должна быть указана конкретная дата начала отпуска и количество дней на которые вы просите вам предоставить отпуск. работодатель обязан за три дня до начала отпуска отпускные выплатить. при "открытой дате" как работодатель должен понять, когда вы в отпуск желаете и готов ли он вам с этой неизвестной аты отпуск предоставить.
ничего не мешает уйти на больничный и во время отпуска. больничный оплатят, отпуск либо продлится, либо перенесется на другое время по согласованию с работодателем. .

Конкретный срок отпуска должен быть... по идее либо по графику отпусков либо по заявлению работника... а перенос/ продление в связи с больничным отдельно оформляется работодателем

На отпуск с открытой датой не может написать.
В заявлении указываются даты отпуска.
Если работник во время отпуска заболеет и предоставит больничный, то по его заявлению отпуск ему будет продлен.

Если человек в отпуске болел и предоставил больничный лист,
нельзя оплатить за одно и то же время и больничный и отпускное пособие.
Поэтому отпуск продляется, как бы начальству это не нравилось.

Нет. Указывается дата.